Теория сравнений (стр. 2 из 12)
Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если
, то 
.Доказательство. Если
и 
имеют одинаковые остатки при делении на 
, то остатки от деления и на также равны.Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если
то 
.Доказательство. Если остатки от деления на
одинаковы у чисел и , а также у 
и 
, то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на .Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности.
Теорема 5. Если
и 
произвольное целое число, то 
.Доказательство. Если
, то 
, 
, 
, 
.Теорема 6. Если
и 
1, то 
.Доказательство. Если
, то | 
, | 
, но тогда условие 
дает | 
, т.е. 
.Теорема 7. Если
и произвольное натуральное число, то 
.Доказательство. Если
, то | , 
| , 
.Теорема 8. Если
, где 
и 
произвольные натуральные числа, то 
.Доказательство. Если
, то 
| , 
| , натуральное ( 
, тогда | , 
.Теорема 9. Если
, 
, то 
и 
.Доказательство. Если
и , то и 
. Получим, что 
Теорема 9'. Если
, то 
.Теорема 10. Если
и , то 
.Доказательство. Если
и , то 
и 
. Тогда по транзитивности сравнений получим, что .Теорема 10'. Если
, то 
.Доказательство. Последовательно применяя теорему 7, получим:
.Теорема 11. Если
, то при любом целом 
, 
.Доказательство. При
утверждение верно по теореме 2, а при 
оно верно согласно теореме 10', если 
и 
.Переход от сравнений
, 
к сравнениям 
, 
, 
будем называть соответственно сложением (вычитанием), умножением, возведением в степень сравнений.
Так как из сравнения
следует 
, то из сравнений 
и 
следует также, что 
и 
.