Знакочередующиеся и знакопеременные ряды (стр. 2 из 4)

1.

.

◄ Имеем

, ;

.

Ряд сходится. ►

2.

◄ Здесь

, ;

Ряд сходится. ►

3. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче

. Тогда:

1) числовой ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл

; (1)

2) ряд

расходится, если расходится несобственный интеграл (1)

◄ Возьмем на графике функции f(x) точки с абсциссами

x1=1, x2=2, x3=3, … , xn = n

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна

.

Возьмем n-ю частичную сумму ряда

:

S n = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) ,

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

Q+= f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1

А площадь Q- входящей фигуры равна

Q- = + f(2) + f(3) + … + f(n) = S n - f(1).

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Q- < Q < Q+ , т.е.

S n - f(1) <

< S n-1.

Так как S n-1 < S n (в силу условия

), то

S n - f(1) <

< S n, n =1,2, … . (2)

1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел

,

так как

(в силу условия f(x) > 0 для

, то из неравенства (2) следует, что

S n < f(1) +

≤ f(1) + A = M = const,

т.е. 0 < S n < M для n = 1, 2, … .Тем самым, последовательность {S n} ограничена, и при возрастании n сумма S n возрастает, так как f(n ) > 0 для n = 1, 2, … . Поэтому она имеет предел

,

Что означает сходимость ряда

.

2) Пусть интеграл (1) расходится. Так как по условию

f(x) > 0 для

, то

= .

Из неравенства

S n ≥

, n = 1, 2, … ,

Следует, что

,

т.е. ряд

расходится. ►

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

◄ Здесь

. Известно, что несобственный интеграл

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. Следовательно, данный ряд сходится при p > 1 и расходится

при p ≤ 1. В частности, при p = 1 получим гармонический ряд

►

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

.

◄ В данном случае функция

и

= = =

=

(arctg b-arctg 1)= ,

т.е. интеграл

сходится, а значит, сходится и ряд. ►

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

◄ Так как общий член данного ряда имеет вид

, то выбираем функцию .

Несобственный интеграл

= = =

=

= +

расходится, следовательно, ряд тоже расходится. ►

Замечание. Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле

можно взять произвольным, например, равным а, где а ≥ 1 – любое число.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

,

◄ Так как общий член ряда

то в качестве функции

возьмем

, где x ≥ 4.

Тогда

= =

=

=

=

.

Так как несобственный интеграл

сходится, то сходится и исходный ряд. ►

В случае сходимости ряда

метод, примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 9, ряд

сходится и его сумма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственный интеграл

.

Пользуясь неравенством

,

оценим остаток Rn заданного ряда, Имеем

.

Итак,

Таким образом, погрешность, получаемая при замене суммы S сходящегося ряда

его n-й частичной суммой Sn , не превосходит интеграла

.

Пример 5. Установить сходимость ряда

и оценить погрешность при замене его суммы S5.

◄ Здесь

= = = = =