Знакочередующиеся и знакопеременные ряды (стр. 3 из 4)

В силу интегрального признака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S и будем считать, что

S ≈ S5. Тогда

S ≈ S5 ==

Оценим погрешность R5. Имеем

►

Замечание. Обозначение

понимается так

Пример 6. Оценить n-й остаток сходящегося ряда

где p>1.

◄ Имеем

. ►

4 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение. Числовой ряд

a1 – a2 + a3 – … + (– 1) n - 1an + … ,

где все числа an положительны, называется знакочередующимся.

Пример. Ряд

является знакочередующимся, а ряд

знакочередующимся не является.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости, который носит название признака Лейбница.

Теорема 4 (признак Лейбница). Пусть в знакочередующемся ряде

a1 – a2 + a3 – …

числовая последовательность { an } убывает,

a1 > a2> a3> …

Тогда этот ряд сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена:

◄ Возьмем четную частичную сумму S2n этого ряда и запишем ее в виде

S2n = (a1 – a2) + (a3 – a4) + … + (a2n-1 – a2n).

Из условия теоремы следует, что разности в скобках положительны и, значит, S2n > 0,

причем с возрастанием n частичная сумма S2n возрастает. Эту сумму можно записать

и так:

S2n = a1 – (a2 – a3) – (a4 – a5) – … – (a2n-2 – a2n-1) – a2n.

Здесь каждая скобка положительна, откуда следует, что

S2n < a1 (n = 1, 2, … ).

Итак, последовательность { S2n } монотонно возрастает и ограничена. Следовательно,

она имеет предел

причем

Для нечетной частичной суммы S2n+1 будем иметь

S2n+1 = S2n + a2n+1 (n = 1, 2, … ).

По доказанному

А по условию теоремы

Поэтому существует предел

Таким образом, доказано, что

т.е. данный ряд сходится. Из неравенства

следует, в частности, положительность суммы ряда. ►

Замечание. Теорема остается справедливой в части сходимости, если условие монотонности последовательности { an } будет выполняться для всех номеров n, начиная с некоторого номера N.

Пример. Знакочередующийся ряд

сходится, так как

Теорема 4 позволяет оценить n-й остаток

Рассматриваемого ряда, который также является знакочередующимся рядом. По абсолютной величине остаток будет не больше абсолютной величины первого своего члена,

. Так как

, то

т.е абсолютная погрешность, получающаяся при замене суммы знакочередующегося ряда его n-й частичной суммой, не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда

Пример. Вычислить приближенно сумму ряда

Ограничившись четырьмя членами, и оценить погрешность.

◄ Сходимость ряда очевидна. Положим приближенно

Тогда

Абсолютная погрешность не превосходит

.►

5. Знакопеременные ряды

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Числовой ряд

членами которого являются действительные числа любого знака, называется знакопеременным. Знакопеременными будут, например, ряды

(плюс, два минуса, плюс, два минуса и т.д.).

Наряду со знакопеременным рядом

рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е.

и докажем следующую теорему.

Теорема 5. Если сходится ряд

то сходится и ряд

◄ Из двойного неравенства

получаем

для n = 1, 2, … .

Пусть ряд

сходится. Тогда ряд

также будет сходиться, а по признаку сравнения будет сходящимся и ряд

Но ряд

есть разность двух сходящихся рядов

поэтому он также будет сходящимся. ►

Следствие. Если ряд

сходится, то справедливо неравенство

◄ Для любого натурального числа k имеет место неравенство

т.е.

Переходя к пределу при

, получим

Или

. ►

При исследовании ряда

на сходимость можно применять все достаточные признаки сходимости, установленные для знакоположительных рядов.

Замечание. Из сходимости ряда

сходимости ряда

вообще говоря, не следует, т.е. доказанная теорема дает лишь достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.