Знакочередующиеся и знакопеременные ряды (стр. 1 из 4)
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Содержание
1. Признак Даламбера
2. Признак Коши
3. Интегральный признак сходимости ряда
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Список использованных источников
1. Признак Даламбера
Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд
, где все 
> 0. 
Если существует предел 
,то при 0
<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.◄Пусть существует предел
,где 0
<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа ε > 0, например, для 
,найдется номер N такой, что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство 
< q - ,В частности, будем иметь
< q - ,или
< q,Откуда
< q для всех n ≥ N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим
< 
q, 
< q < q 
, 
< q < q 
,………………………….
Члены ряда
+ + +…Не превосходят соответствующих членов ряда
q + q + q +… ,который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд
+ + +…сходится, а значит, сходится и исходный ряд
.В случае
> 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство 
> 1, или > > 0.Следовательно,
0, и ряд 
расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►Замечание. Если
1,Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1.
.◄ Для данного ряда имеем
, 
.Тогда
.По признаку Даламбера ряд сходится. ►
2.
.◄ Имеем
, 
= 
; 
.Данный ряд расходится. ►
2. Признак Коши
Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд
, 
. (1)Если существует конечный предел
,то 1) при
ряд сходится;2) при 
ряд расходится.◄ 1) Пусть
. Возьмем число q такое, что 
. Так как существует предел , где
, то, начиная с некоторого номера N , будет выполняться неравенство 
.В самом деле, из определенного равенства вытекает, что для любого ε ,в том числе и для
ε =
, найдется такой номер N , начиная с которого будет выполняться неравенство
,откуда
или что тоже, .Отсюда получаем
для 
.Таким образом, все члены ряда, начиная с
, меньше соответствующих членов сходящегося ряда 
. По признаку сравнения ряд 
сходится, а значит сходится и ряд(1).
2)Пусть
. Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N , будет выполняться неравенство 
, или 
.Следовательно,
И ряд (1) расходится. ►
Замечание. Если
, то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды: