Повторные ряды (стр. 2 из 2)

то, переходя здесь при фиксированном

к пределу при

( в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим

Теперь ясно, что сумма повторного ряда (3) есть не что иное, как повторный предел

Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (10) и 2) сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд

Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (4).

Вопрос о сходимости двойного ряда (10) просто решается для случая положительного ряда, т.е. ряда с неотрицательными членами.

Теорема 5. Для сходимости ряда (10), если

, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.

Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (1), а значит и в ряде (10), есть бесконечное множество как положительных и отрицательных элементов.

Кроме матрицы (1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов.

и по этой матрице составим двойной ряд

. (10^*)

Теорема 6. Если сходится ряд (10^*), то и ряд (10) сходится.

Если одновременно с рядом (10) сходится и ряд (10^*), то ряд (10) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (10) сходится, а ряд (10^*) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.

Практическая часть

1) Показать, что если

2) Обращением ряда

(где

) в двойной ряд показать, что он равен

Решение:

Рассмотрим сумму по строкам:

Рассмотрим сумму по столбцам:

Заключение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

В данной курсовой работе введено понятие двойных и повторных рядов. Рассмотрена теория сходимости двойных и повторных рядов.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высш. шк., 1999.

3. Ильин В.А. и др. Математический анализ. – М.: Изд-во МГУ, 1987.

4. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2. – Айрис-пресс, 2006.

5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Основные операции анализа. Ч. 1. – М: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963.

6. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2005.