Распределение случайной величины Эмпирические линии регрессии (стр. 2 из 2)
Задача 2
По данным задачи 1, используя критерий c2 – Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Выдвигается гипотеза Н0: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2 = 217,17.
Для расчета рi используем функцию Лапласа
Дальнейшие расчеты покажем в таблице
| i | [xi;xi+1] | ni | pi | npi | (ni – npi) |  |
| 1 | 10 – 20 | 8 | 0,0582 | 8,7225 | 0,522 | 0,0598 |
| 2 | 20 – 30 | 17 | 0,1183 | 17,738 | 0,5439 | 0,0307 |
| 3 | 30 – 40 | 31 | 0,2071 | 31,065 | 0,0042 | 0,0001 |
| 4 | 40 – 50 | 40 | 0,2472 | 37,073 | 8,5703 | 0,2312 |
| 5 | 50 – 60 | 32 | 0,2034 | 30,51 | 2,2201 | 0,0728 |
| 6 | 60 – 70 | 15 | 0,1099 | 16,478 | 2,183 | 0,1325 |
| 7 | 70 – 80 | 7 | 0,0517 | 7,755 | 0,57 | 0,0735 |
| S | 150 | 0,9956 | 149,34 | 0,6006 |
Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c20,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.
Так как c2 < c20,05;4, гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Выполним построение:
Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.
Задача 3
Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:
| у х | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 | 2,25 | Итого |
| 80 – 130 | 1 | 2 | 3 | 6 | ||
| 130 – 180 | 1 | 4 | 3 | 8 | ||
| 180 – 230 | 4 | 8 | 3 | 1 | 16 | |
| 230 – 280 | 2 | 5 | 4 | 11 | ||
| 280 – 330 | 3 | 4 | 2 | 9 | ||
| Итого: | 5 | 3 | 16 | 9 | 7 | 50 |
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние xj и yi и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;
б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.
Решение:
1) Составим корреляционную таблицу
| х | у xi | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | ni | уi |
| 80 – 130 | 105 | 1 | 2 | 3 | 6 | 2,0833 | ||
| 130 – 180 | 155 | 1 | 4 | 3 | 8 | 2,0625 | ||
| 180 – 230 | 205 | 4 | 8 | 3 | 1 | 16 | 1,7656 | |
| 230 – 280 | 255 | 2 | 5 | 4 | 11 | 1,5456 | ||
| 280 – 330 | 305 | 3 | 4 | 2 | 9 | 1,4722 | ||
| nj | 5 | 13 | 16 | 9 | 7 | 50 | ||
| xj | 285 | 255 | 220,63 | 160,56 | 140,71 |
Построим эмпирические линии регрессии
2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;
а) Вычислим среднее значение
Найдем уравнениеух = byx(x – x) + y,
где byx =
ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75
ух = - 0,0036х + 2,5105
ху - х = byx(у – у),где bху =
ху = - 157,14(х – 1,75) + 214
ху = - 157,14х + 489
б) Коэффициент корреляции
связь обратная и тесная;
Статистика критерия
При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.
в) Используя ху = - 157,14у + 489
х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14
Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489.
б) k = - 0,7473.
в) х = 96,14 при у = 2,5