Приближенные решения задач математической физики (стр. 2 из 8)
Обратный оператор
: 
. 
- область определения оператора 
, 
- область значения (множество 
). Оператор линеен, если: 
Непрерывный оператор:
Линейный оператор является ограниченным, если
Норма оператора:
Теорема:
Для того, чтобы оператор
имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
имело единственное решение 
.Теорема:
Для того чтобы оператор
был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная 
такая, что при всех 
: 
.Симметричный оператор:
Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два большие класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых искомые величины заметно меняются с течением времени, то есть являются функциями пространственных координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса – волновое уравнение, частным случаем которого является уравнение колебания струны. Другой важный пример – уравнение теплопроводности.
Уравнения второго класса описывают явления стационарные. Чаще всего эти уравнения принадлежат к эллиптическому типу. Одна из простейших стационарных задач – задача о распределении температуры в ограниченном теле
с границей 
в случае отсутствия в теле источников тепла. Температура тела 
удовлетворяет уравнению Лапласа с тремя независимыми переменными 
(1)Принимаем, что на границе
тела температура - известная функция координат (краевые условия 1 рода): 
(2)Задачу о распределении температур можно сформулировать так:
Найти функцию
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа (1) внутри области и принимает заданные значения (2) на ее границе (Задача Дирихле для уравнения Лапласа).Условия на границе могут быть и другого типа. Если поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды
и границы тела 
( 
– внешняя нормаль к поверхности тела ), то получаем условия 3-ого рода: 
или 
(3)Если в условии (3) положить
, то получаем краевое условие 2-ого рода
(4)Задача интегрирования уравнения (1) с условием (4) называется задачей Неймана.
С краевой задачей математической физики можно связать некоторый оператор – «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве. При этом данная задача может быть записана в виде уравнения
(5)
где
– оператор краевой задачи, и 
– элементы гильбертова пространства. Пример такой операторной задачи – однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа): 
(6)Решение задачи (6) ищем во множестве (линеале)
функций, обладающих следующими свойствами: 
, 
. На множестве М оператор действует по формуле:
(7)Формула интегрирования по частям и формулы Грина
При рассмотрении вариационных методов широко используются следующие соотношения.
Для функций
в 
– мерной области с кусочно-гладкой границей ( 
- вектор внешней нормали к поверхности ) справедлива формула интегрирования по частям: 
(8)Рассмотрим далее дифференциальный оператор:
(9)Первая формула Грина
(10)Вторая формула Грина
(11)Третья формула Грина
(12)Соответствующие формулы Грина для оператора Лапласа
(10`) 
(11`) 
(12`)Положительные и положительно определенные операторы
Симметричный оператор
называется положительным, если для 
(1)причем
выполняется тогда и только тогда, когда 
.Пример 1:
, 
, 
.Докажем, что оператор
положителен.а) симметричность
б)
