Приближенные решения задач математической физики (стр. 4 из 8)

.

Теорема.

Для того, чтобы энергетическое пространство положительного оператора было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельным исходное гильбертово пространство.

(Сепарабельное пространство - плотное, счетное,

– сепарабельное пространство).

Итак:

Положительный оператор

:

Положительно определенный оператор

: , что

Главные и естественные краевые условия

, , , (1)

, (2)

– оператор задачи (1), (2) в пространстве

– множество функций из и удовлетворяет (2) ( –порядок уравнения (1)).

Пусть

– положительный оператор, – энергетическое пространство. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и необязательно – функции из энергетического пространства , называются естественными для дифференциального оператора . Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства – главные условия.

1)

, ,

,

– главные (геометрические, кинематические)

2)

, ,

,

– естественные (динамические)

Пример 5

(3)

, (4)

Докажем, что для уравнения (3) краевое условие (4) – естественное.

– симметрично относительно , .

– имеет смысл для любых , необязательно удовлетворяющих (3).

Построим функционал

.

Покажем, что точное решение задачи (3), (4)

– реализует . Используем принцип виртуальных перемещений с параметром .

– имеет при и фиксированном .

.

При

(5)

По формуле Грина

, для

, ,

Метод Ритца.

Пусть

– положительно определенный оператор на линеале в сепарабельном пространстве , и . Пусть – гильбертово пространство. Рассмотрим в базис

. (1)

Обобщенное решение уравнения

– это элемент , который минимизирует в функционал

, (2)

т.е. элемент

, для которого

. (3)

Выберем целое положительное число

, и будем искать аппроксимацию элемента в виде

, (4)

где

элементы базиса (1) , а – неизвестные пока вещественные постоянные. Эти постоянные определяются из условия

Fu_n= min, (5)

которое означает, что среди всех аппроксимаций вида

, (6)

где b_k – произвольные вещественные постоянные (т.е. в n-мерном подпространстве, порождаемом элементами j₁, …, j_k,), функционал F принимает минимальное значение в точности на аппроксимации (4). По предположению, (1) образует базис в H_A , так что обобщенное решение u₀ можно с произвольной точностью аппроксимировать соответствующей линейной комбинацией его элементов. Кроме того, условие (5) аналогично (3). Поэтому приближение (4) с постоянными, определенными в соответствии с (5), будет достаточно мало отличаться от искомого решения u₀ в H_A, если n будет достаточно велико.

Постоянные b_k в (4) определяются подстановкой (6) вместо u в (2):

F v_n = (b₁j₁+…+ b_nj_n, b₁j₁+…+ b_nj_n)_A – 2(f, b₁j₁+…+ b_nj_n)=