Приближенные решения задач математической физики (стр. 5 из 8)

=(j₁, j₁)_A b₁²+ (j₁, j₂)_A b₁ b₂+…+ (j₁, j_n)_A b₁ b_n +

+(j₂, j₁)_A b₂ b₁ + (j₂, j₂)_A b₂² +…+ (j₂, j_n)_A b₂ b_n +…

+(j_n, j₁)_A b_n b₁ + (j_n, j₂)_A b_n b₂ +…+ (j_n, j_n)_A b_n²–

–2(f, j₁) b₁ – 2(f, j₂) b₂ –…– 2(f, j_n) b_n, (7)

а с учетом симметрии скалярного произведения:

F v_n =(j₁, j₁)_A b₁² + 2(j₁, j₂)_A b₁ b₂ +…+ 2(j₁, j_n)_A b₁ b_n +

+ (j₂, j₂)_A b₂² +…+ 2(j₂, j_n)_A b₂ b_n +…+ (j_n, j_n)_A b_n²–

– 2(f, j₁)b₁ – 2(f, j₂)b₂ –…– 2(f, j_n)b_n . (8)

Скалярные произведения (j_i,,j_k)_A – это фиксированные числа, определяемые элементами заданного базиса. Следовательно, в результате подстановки функционал F становится квадратичной функцией переменных b₁,…,b_n. Необходимые условия существования минимума этой функции в точке (a₁,…,a_n) есть:

(9)

т.е. должны выполняться равенства

(10)

После простых преобразований эти уравнения можно записать в виде

(11)

Система (11) – это система n уравнений для n искомых постоянных a₁,…,a_n. Так как по предположению j₁,…,j_n линейно независимы и определитель системы (11), являющийся определителем Грама, отличен от нуля, то существует единственное решение системы(11).

Замечание. Базис в H_A можно выбрать из элементов линеала D_A, так как это множество плотно в H_A. Тогда мы имеем (j_i, j_k)_A = (Aj_i, j_k) для всех i, k=1,…,n, и систему (11) можно записать в виде

(12)

Применение собственных элементов сходного оператора.

Понятие о невязке

Если дано уравнение

(1)

и

- какое-либо его приближенное решение, то разность называется невязкой этого приближенного решения. Пусть - положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , и - приближенное решение уравнения (1) по Ритцу. Будем считать, что координатные элементы принадлежат области определения оператора , тогда и выражение - невязка – имеет смысл. В случае ограниченного оператора невязка стремится к нулю:

.

При некотором специальном выборе координатной системы невязка также может стремиться к нулю.

Сходные операторы

Самосопряженные положительно определенные операторы

и , действующие в одном и том же гильбертовом пространстве, называются сходными, если .

Теорема о невязке

Пусть

и - сходные положительно определенные операторы, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве , и пусть оператор имеет дискретный спектр. Если систему собственных элементов оператора принять за координатную для уравнения (1) и если

(2)

есть

-е приближение по Ритцу к точному решению уравнения (1), то невязка стремится к нулю при .

Примеры сходных операторов

	Краевые условия			Дополнительные условия
1.	.	.	.	- невырожденный оператор
2.	.	, .	.

Решение методом Ритца краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим краевую задачу

,

при условиях:

, .

Граничные условия определяют выбор последовательности координатных функций.

1.

, т.е. граничные условия имеют вид . Приближенное решение ищется в виде:

,

где

- любая достаточно гладкая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, например . Координатные функции - любые достаточно гладкие линейно независимые функции, удовлетворяющие соответствующим однородным условиям . В качестве таких функций можно взять функции

или

.

2. В случае граничных условий

, можно взять в качестве координатных функции

,

,

Ортонормирование по Шмидту

Пусть

, (1)

- конечная или бесконечная последовательность элементов гильбертова пространства, и пусть при любом

элементы линейно независимы. Положим