Приближенные решения задач математической физики (стр. 6 из 8)
, 
. 
Последовательность
ортонормирована, при этом 
линейно выражается через 
, а 
- линейно выражается через .Пример:
Провести ортогонализацию для базиса
в случае интервала 
.Ответ:
Вычисление скалярных произведений (Aji, jk) в случае уравнения для оператора
(13) 
Если в первом интеграле провести интегрирование по частям, то получим эквивалентные соотношения:
Возможный выбор базиса для оператора (13):
| Граничные условия | Базис |
 |  |
 |  |
 |  |
Рассмотрим H – сепарабельное гильбертово пространство, M – его плотное подмножество.
Известно, что если для некоторого u ÎH и "v Î M выполняется (u, v) = 0, тогда u = 0 в H.
Пусть {jk} – базис в H, k = 1, 2, ¼Тогда если (u, jk) = 0, k = 1, 2, ¼ то опять u = 0 в H.
По нашему предположению {jk} образует базис в H , тогда множество N всех элементов вида
(14)( n – произвольное целое положительное число, ak – произвольные вещественные числа ) является плотным в H . А так как для всех k выполняется (u, jk) = 0, то
(u,
ak jk) = 0для всех элементов (14) из N ,откуда следует (13).
Пусть Аu = f – уравнение в H.
Если мы найдем элемент u0Î DA такой, что выполняется условие:
(Au0 – f, jk) = 0 " k = 1, 2, ¼, (15)
то из (13) следует, что
Au0 – f = 0 в H , (16)
т.е. u0Î DA – решение уравнения Аu = f в H.
Это рассуждение, ведущее к утверждению, что из (15) следует (16), составляет идею метода Галёркина.
Пусть базис {jk} и область определения DAоператора A таковы, что любая линейная комбинация (14) элементов этого базиса принадлежит DA, и пусть приближенное решение un уравнения Аu = f ищется в виде
, (17)
где n – произвольное, но фиксированное число, а ak – пока неизвестные постоянные. В методе Галёркина эти постоянные определяются из условий
, " k = 1, 2, ¼,n, (18)аналогичных (15). Условия (18) представляют собой n уравнений для n неизвестных постоянных a1, …, an.
Преобразуем
, k = 1, 2, ¼ ,n (подставив (17): 
Если оператор A линеен, то условия (18) принимают вид
, k = 1,…, n, (19)Если оператор A ещё и положителен (и поэтому симметричен), то систему (19) можно записать в виде
(20)которая совпадает по форме с системой (12), полученной с помощью метода Ритца. Таким образом, выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Ритца, означает также выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Галёркина.
Замечание. В случае положительно определённых операторов метод Галёркина не дает ничего нового по сравнению с методом Ритца; эти два метода ведут к решению одинаковых систем линейных уравнений и к одинаковым последовательностям приближенных решений. Однако возможности применения метода Галёркина существенно шире, чем у метода Ритца. В методе Галёркина, характеризуемом условием (18), заранее не налагается на оператор A никаких существенных ограничений: не является необходимым, чтобы оператор A был положительно определенным, а тем более симметричным, но самое главное то, что он может быть нелинейным. Поэтому метод Галёркина может применяться даже в случае очень общих операторов.
Рассмотрим оператор A, положительно определенный на линеале DA, который является плотным в сепарабельном гильбертовом пространстве H, и уравнение
Аu = f,
где f Î H . Пусть j1, j2,…,jk Î DA , k = 1, 2,… образуют базис в H, т.е. такую последовательность, что Aj1, Aj2,… образуют базис в H . Следовательно, для любого fÎH и любого h> 0 можно найти положительное целое число m и постоянные c1,…,cm, что
,или для линейного оператора
: 
.Метод наименьших квадратов состоит в нахождении приближенного решения un уравнения Аu = f в виде
, (22)
где постоянные ak определяются из условия
. (23)Если в (23) вместо
подставить сумму (22), то выражение(23) станет квадратичной функцией переменных 
. Необходимым условием минимума квадрата нормы является удовлетворение в точке (a1,…, an) равенств 
.Аналогично методу Ритца, получим систему
(25)Система (25) имеет единственное решение, поскольку ее определитель представляет собой определитель Грама, соответствующий первым n элементам последовательности (21), а эти элементы по предположению образуют базис в H , так что они линейно независимы в H .
Метод Куранта представляет собой некоторое сочетание метода Ритца и метода наименьших квадратов. Пусть заранее известно, что обобщенное решение
уравнения 
принадлежит 
. Построим функционал 
(1)где
. Функционал 
достигает минимума на 
в точности на 
, поскольку 
минимально на в точности при 
в соответствии с теоремой о минимуме квадратичного функционала; 
так же минимально при , так как при этом 
. Таким образом, нахождение решения уравнения эквивалентно нахождению элемента 
, минимизирующего в функционал 
. Из формы функционала 
видно, что его минимизация в (например с помощью метода Ритца) труднее, чем минимизация исходного функционала 
или 
. В тоже время метод Куранта сочетает преимущества метода Ритца и метода наименьших квадратов, и это положительно влияет на скорость сходимости решения.