Приближенные решения задач математической физики (стр. 8 из 8)
Пусть
- точное решение задачи (1)–(2). Обозначим 
- разность между приближенным и точным решением задачи. В методе Трефтца для решения задачи от 
требуется, чтобы 
обращала в минимум функционал 
.В качестве примера рассмотрим следующую задачу:
, 
.Соответствующий функционал принимает вид
(7)т. е.
подбирают так, чтобы обращалась в минимум функция 
(8)Следовательно,
должны являться решением системы (9): 
Этот интеграл нужно преобразовать так, чтобы неизвестное решение
в нем отсутствовало. Используя формулу Гаусса-Остроградского можно провести преобразования: 
(2.2.10)Так как Avk = 0, а u|S = 0, то систему (2.2.9) можно переписать в виде
(2.2.11)В эту систему u(x, y) уже не входит. Решая ее, находим a1,a2,…,an , а следовательно и un(x, y).
Отметим, что если un(x, y) – приближенное решение краевой задачи, полученное по методу Треффтца, а u(x, y) – точное решение, то имеет место неравенство
F(un) £ F(u) = m, где F(u) = (Au, u) - 2(u, f ),
т. е. метод Треффтца дает приближение к m снизу.
Будем искать функцию u(P), которая внутри конечной области W удовлетворяет уравнению Пуассона
– Du = f (P), (2.1.1)
а на границе S области W – краевому условию
u|S = 0. (2.1.2)
Для определенности будем считать, что функция f (P) имеет конечную норму, а W – двумерная область, так что
.Формула из векторного анализа Du = div grad u позволяет записать уравнение (2.1.1) в виде
– div grad u = f (P).
Обозначим grad u = v. Наша задача будет решена, если мы найдем вектор v , так как восстановление функции по ее градиенту – дело достаточно простое. Теперь задачу можно сформулировать так : требуется найти вектор v(P), который удовлетворяет уравнению
– div v = f (P) (2.1.3)
и представляет собой градиент некоторой скалярной функции, равной нулю на S.
Введем в рассмотрение пространство векторных функций, в котором скалярное произведение и норма определены формулами
Для краткости обозначим это пространство через Ђ. Введем в Ђ два подпространства, которые обозначим через Ђ1 и Ђ2 . За Ђ1 примем подпространство векторов, которые являются градиентами скалярных функций, равных нулю на S , за Ђ2 — подпространство векторов, удовлетворяющих уравнению
div v = 0.
Дальнейшее основано на важной формуле
Ђ = Ђ1 Å Ђ2.
Эта формула содержит два утверждения:
1) Если вектор v1 есть градиент некоторого скаляра, равного нулю на S, а вектор v2 имеет дивергенцию, равную нулю, то эти векторы ортогональны в том смысле, что
2) Всякий вектор с конечной нормой можно представить в виде суммы двух векторов, из которых один есть градиент скаляра, равного нулю на S , а другой имеет равную нулю дивергенцию.
Теперь перейдем к изложению метода ортогональных проекций. Построим какой-либо вектор V(P), удовлетворяющий уравнению (2.1.3).
Положим V = v + w , где v – искомый вектор. Тогда
div w = div V – div v = 0,
так что w Î Ђ2 . В то же время по условию задачи v Î Ђ1 . Теперь ясно, что искомый вектор есть проекция вектора V на подпространство Ђ1 – в этом и состоит метод ортогональных проекций.
Для построения проекции w выберем последовательность векторов yi(P), удовлетворяющих уравнению div yi = 0; если эта последовательность ортонормированна и полна в Ђ2 , то
и решение нашей задачи дается формулой
(2.1.4)Проведем некоторый анализ формулы (2.1.4). Перепишем ее в виде
(2.1.5)Все слагаемые справа (2.1.5) ортогональны: векторы yn(P) ортогональны по условию, кроме того, v(P) и yn(P) ортогональны, так как они принадлежат ортогональным подпространствам Ђ1 и Ђ2 . По свойствам ортогональности получим
(2.1.6)Если в ряде (2.1.6) сохранить только конечное число m первых членов то правая часть равенства увеличится, и мы получим
(2.1.7)Это соответствует замене точного решения (2.1.4) приближенным по формуле
По определению нормы векторной функции
Обозначая через u0(P) функцию удовлетворяющую уравнениям (2.1.1) и (2.1.2), имеем v = grad u0 и
(2.1.8)С другой стороны
(2.1.9)где F(u) = (–Du, u) - 2(u, f ) – функционал, используемый в энергетическом методе. Теперь из формул (3.1.7)–(3.1.9) следует
(2.1.10)Теперь мы видим, что метод ортогональных проекций позволяет оценить снизу погрешность приближенного решения, построенного по методу Ритца.
1. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, 2 том, М.: Физматгиз, 1962. 640с
2. Гавурин М.К.Лекции по методам вычислений. М. Наука.1971, 248с
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1962. 368с
4. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М. Мир, 1981. 216с.
5. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.- 424 с
6. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. Наука.1970, 512с
7. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М. Наука.1966, 432с
8. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М, Мир, 1985. 590с
9. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М, Мир, 1979. 392с
10. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.- 238 с.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Наука.1969, 424с