Приближенные решения задач математической физики (стр. 1 из 8)

Приближенные решения задач математической физики

Предварительные понятия. 1

Некоторые сведения из функционального анализа. 1

Функционалы и операторы.. 2

Энергетическое пространство. 3

Краевая задача и ее оператор. 3

Формула интегрирования по частям и формулы Грина. 4

Положительные и положительно определенные операторы.. 5

Энергетическое пространство положительно определенного оператора. 6

Энергетическое пространство только положительного оператора. 7

Главные и естественные краевые условия. 7

Метод Ритца. 8

Применение собственных элементов сходного оператора. 9

Решение методом Ритца краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 10

Ортонормирование по Шмидту. 11

Метод Галеркина. 12

Метод наименьших квадратов. 13

Метод Куранта. 13

Метод Л.В.Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 14

Встречные методы.. 15

Метод Трефтца. 15

Метод ортогональных проекций. 17

Список литературы.. 19

Предварительные понятия

Приближенные методы решения задач УМФ можно разделить на две группы

1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме ( в виде отрезка некоторого функционального ряда). К таким методам можно отнести метод Фурье разделения переменных, вариационные методы, метод Галеркина.

2) методы, в результате которых получают таблицу приближенных значений в некоторых точках области (численные методы). К ним можно отнести метод сеток (метод конечных разностей), метод характеристик, при котором задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Некоторые сведения из функционального анализа

Линейное множество называется гильбертовым пространством, если для

элементов этого множества приведено в соответствие число (скалярное произведение) , удовлетворяющее аксиомам:

-

,

-

-

,

-

.

Норма элемента (метрика) в гильбертовом пространстве:

(1)

Примеры гильбертовых пространств:

(2)

(3)

Пусть

– гильбертово пространство, - последовательность элементов в . Последовательность сходится к , если и при . В этом случае называется пределом последовательности .

. (4)

Гильбертово пространство называется полным, если всякая последовательность его элементов, удовлетворяющая условию (4), имеет предел. Пространства

, - полные.

Система

называется ортонормированной, если

(5)

Пусть

– гильбертово пространство и - ортонормированная в нем система. Будем называть эту систему полной в , если не существует элемента (кроме нулевого) который был бы ортогонален ко всем элементам системы. Обозначим - коэффициенты Фурье элемента по отношению к системе . Ряд Фурье разложения элемента по системе :

. (6)

Неравенство Бесселя:

(7)

Функционалы и операторы

На множестве

определен функционал , если каждому элементу приведено в соответствие некоторое число . Множество называется областью определения функционала

и обозначается через .

Линейный функционал:

. (1)

Ограниченный функционал:

(2)

Наименьшее из чисел

, удовлетворяющее (2), называется нормой ограниченного функционала и обозначается .

Непрерывный функционал:

(3)

Теорема Рисса:

Всякий ограниченный в гильбертовом пространстве

функционал

имеет вид скалярного произведения

, (4)

где

– фиксированный элемент пространства . Элемент определяется единственным образом.

– билинейный функционал, если

- при фиксированном

функционал линеен,

-

. (5)

Однородный квадратичный функционал (квадратичная форма):

, (6)

, (7)

. (8)

Для вещественного гильбертова пространства

, (5`)

, (7`)

. (8`)

На некотором множестве

элементов гильбертова пространства определен оператор , если каждому элементу приведен в соответствие по некоторому закону один и только один элемент гильбертова пространства: .