а b а b а a c
а b a + b = c
a b b а
Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называется третий вектор
Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними
Угол между векторами:
cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2
№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.
x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆
№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.
Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;
{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где аij – коэффициенты системы, bi – свободные
am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены
№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 = А-1*А = Е
Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;
2. находим матрицу АТ, транспонированную к А;
3.
составляем союзную матрицу (А*); 4. вычисляем обратную матрицу по формуле А-1 = А*/∆А = 1/∆А* ( )
Ранг м-цы:
Минором R-го порядка произвольной м-цы А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.
Рангом м-цы А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.
Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.
При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.
Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.
Свойства:
– при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;
– если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.
№20 Матрицы. Операции над матрицами.
Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.
Две м-цы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.
Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.
М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.
Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.
Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.
Операции над матрицами:
Умножение м-цы на число. Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементы которой bij = λ* aij (i=1,…,m, j=1,…,n)
Сложение м-ц. Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.
Аналогично находится разность.
Умножение м-ц. Умножение м-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj
Возведение в степень.
А^2=A*A
Транспонирование м-цы – переход от м-цы А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.
№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Квадратной м-це А порядка n можно сопоставить число дельта А(|А|, ∆), которое называется определителем, если:
– n=1, A=(a1), ∆A=a1;
|
– n=2, A= , ∆= =a11a22-a12a21;
|
–n=3, A= ; ∆A=
Свойства определителей:
1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;
2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;
3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;
4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;
5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
№22 Признаки сравнения положительных рядов.
Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.
Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.
№23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда
Признак Даламбера:
Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение Un+1/Un последующего члена к предыдущему при n→∞ имеет предел q. Возможны три случая:
q<1 –ряд сходится; q>1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может и расходиться.
№24 Производные обратных тригонометрических функций.
I. d arcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2
II. d arccos x = - dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= - 1/(1-x^2)^1/2
III. d arctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)
IV. d arcctg x = - dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = - 1/(1+x^2)
№25 Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
№26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x’(t)≠0.
Найдем производную у’x. Как мы знаем у’x = dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то
y’x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.
Таким образом, dy/dx = y’t/x’t. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.
№28 Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ∆y = A ∆x+α, где А не зависит от ∆x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).
Тогда первый член, пропорциональный ∆x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
№29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.
№30 Площадь криволинейной трапеции.
Фигура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f(x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции равна
∫f(x)dx; ∫f(x)dx – ∫g(x)dx №31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.
ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y’ = g (y/x).
Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz\(g(z)-z)=dx/x.
Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.
Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.
ДУ будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка.
Переписав уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y’=g(y/x).
При интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.
№32 Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида а0+а1х+а2х2+…+anxn+…, а также ряд более общего вида а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+an(x-х0)n+…, где х0 – постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степеням х-х0.