Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 10 из 16)
Решение:
Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.
Пусть
- "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке 
; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками 
так, что в каждой из частей функция
представляется полиномом не выше 
-й степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках 
и 
нулями, обозначим через 
величину скачка 
-й производной 
в 
-й точке 
.Пусть, далее,
- любая непрерывная функция; положим 
и, вообще, 
Тогда имеет место следующая формула:
Действительно, последовательно находим
двойная подстановка исчезает, а интеграл
Аналогично
и т.д.
Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если
и 
обе абсолютно интегрируемы в промежутке 
, а 
и 
определяются интегральными формулами: 
то справедлива формула
(19)Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):
Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).
Здесь функции
и 
играют как бы роль производных от функций 
, не будучи ими на деле. При непрерывности функций 
и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное 
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса
Рассмотрим интеграл
(20)предполагая функцию
непрерывной интеграл положительной, а 
- лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция 
может иметь и разрывы (скачки).Система параметрических уравнений
(21)выражает некоторую кривую
, вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором 
функция испытывает скачок, так что 
, то этим предельным значениям 
отвечает одно интеграл то же предельное значение 
, равное 
. Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек 
и 
отвечающие всем скачкам функции
(см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая 
. Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам 
и 
.С этой целью разложим промежуток на части точками
и в соответствии с этим промежуток
на оси 
- на части точками 
Введя наименьшее и наибольшее значения
и 
функции 
в 
-м промежутке 
, составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу 
Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.
Так как при стремлении к 0 всех
обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).2.10 Теорема о среднем, оценки
Пусть в промежутке
функция 
ограничена: 
а
монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса 
от 
по 
, то имеет место формула 
(22)Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы
: