Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 11 из 16)

Переходя к пределу, получим

(23)

Или

Обозначая написанное отношение через

, придем к (22).

Если функция

в промежутке непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид

, где (24)

В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция

непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

(25)

Где

.

Действительно, для суммы Стилтьеса

будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы

к самому интегралу Стилтьеса (при прежних предположениях относительно функций и ). Представив и в виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через

колебание функции в промежутке , так что

для

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу

в отдельности, будем иметь

Если промежуток

раздроблен на столь мелкие части, что все , где - произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

(26)

Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.

2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

Пусть функции

непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

(очевидно, также непрерывной), а

- функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство: По заданному

найдется такое , что при будет для всех

Тогда, в силу (25), для

что, ввиду произвольности

, и доказывает теорему.

Пусть теперь функция

непрерывна в промежутке , а функции - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

и

при стремятся к предельной функции

То

Доказательство:

Прежде всего, убедимся в том, что предельная функция

сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток произвольным образом на части точками

будем иметь (при любом

)

Переходя к пределу здесь при

, получим

откуда и

Составим суммы Стилтьеса

Если предположить, что промежуток

при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то в силу оценки (26), при всех

(27)

С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно,

при , так что найдется такое , что для будет

. (28)

Тогда для тех же значений

будем иметь, в силу (27) и (28),

откуда, ввиду произвольности

, и следует требуемое заключение.

2.12. Примеры и дополнения

Предполагая функцию

монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа , фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через

и наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая , легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа и , так что