Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 6 из 16)

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то

перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла

(существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков

точек взять , а для промежутков и , соответственно, и . Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут . При сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для , т.е. интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция

в промежутке интегрируема по функции , то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций

и .

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция

непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции

. Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки и . Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между и относит одно определенное значение между и . Эта функция , очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями

, которые функция действительно принимает при изменении от до , то является обратной для неё в обычном смысле, т.е. относит именно то значение , при котором . Но из промежутка значений

связанного со скачком функции

, лишь одно значение имеет себе соответствующее значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения , очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция

, а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток

на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить

, то будем иметь

Так как

, то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при

может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися и будет заключено значение , где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.