Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 7 из 16)

Имеем

и

так что

Предположим теперь

настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как

при

, очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

Докажем следующую теорему:

Если функция

интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция

абсолютно интегрируема в , то

(11)

Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п.3,3).

Остается лишь установить равенство (11).

Без умаления общности можно предположить функцию

положительной.

Составим, как обычно, сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для

будет , где означает колебание функции в промежутке . Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:

Но мы уже знаем (п.3,3), что при

последняя сумма стремится к 0, следовательно,

что и доказывает формулу (11).

В частности, из доказанной теоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2. При прежних предположениях относительно функции

допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

(12)

Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ

буквально как дифференциал, заменит его выражением .

Обращаясь к случаям, когда функция

оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения "стандартной" разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке

справа, причем величина скачка равна 1; в точке слева и в остальных точках функция непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке слева, причем величина скачка будет равна - 1.

Предположим, что функция

непрерывна в точке , и вычислим интеграл где (при этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка

попадет, скажем, в -й промежуток, так что . Тогда , а при , очевидно, . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

(13)

Аналогично можно убедиться в том, что (при

)

(14)

(при

этот интеграл обращается в нуль).

Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а именно, отказаться от требования непрерывности функции:

Пусть функция

в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой