Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 8 из 16)
(15)Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции
в точках 
или 
- односторонние.Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции
справа и слева: 
очевидно, для
Составим вспомогательную функцию:
которая как бы вбирает в себя все разрывы функции
, так что разность 
, как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.Для значений
, отличных от всех 
, непрерывность функции 
не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции 
и 
. Докажем теперь непрерывность 
в точке 
справа. Все слагаемые суммы 
, кроме члена 
, непрерывны при 
справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения 
. При оно имеет значение 
; но таков же и его предел при 
: 
Аналогично проверяется и непрерывность функции
в точке 
слева.Далее, если взять точку
(отличную от всех ), в которой функция 
имеет производную, то вблизи этой точки 
сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция 
имеет производную, причем 
.Для непрерывной функции
, по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса 
Точно так же легко вычислить и интеграл
Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от
по функции 
устанавливается попутно (п.4,3).2.8 Примеры
Вычислить по формуле (11) интегралы:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
Вычислить по формуле (15) интегралы:
а)
где 
б)
где 
Решение:
а) Функция
имеет скачок 1 при 
и скачок - 2 при 
; в остальных точках 
. Поэтому 
б) Скачок 1 при
и - 2 при 
(значение функции 
при 
не влияет на результат); в прочих точках .Имеем:
Вычислить по формуле (15) интегралы:
а)
б) 
в) 
где
Решение:
Функция
имеет скачки, равные 1, при 
и 
. Производная 
Поэтому
а)
Аналогично,
б)
в)
Предположим, что вдоль отрезка
оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для 
через 
сумму всех масс, расположенных в промежутке 
; сверх того, положим, 
. Очевидно, 
- монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.Разобьем промежуток
на части точками 
На отрезке
при 
содержится, очевидно, масса 
. Точно так же на отрезке 
содержится масса 
. Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение