Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 9 из 16)

.

При стремлении к 0 всех

, в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент

, отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции

тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность

; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке

функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение

и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке

имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при

и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

В промежутке

имеем

в) выяснить распределение масс, если

равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках

и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке - массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось

вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть . Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент

в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе

, скажем, правой части балки приложена сила , создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через

, то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы

приложены в точках . Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные . Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины

несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью ; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке , интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .