Интеграл Стилтьеса (стр. 3 из 7)

в предложении, что a<c<b и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно включить точку с в число точек деления промежутка [a, b] при составлении суммы Стилтьеса для интеграла

Из существования интеграла

следует существование обоих интегралов .

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого

из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет

место принцип сходимости Больцано–Коши

. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое , что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток [с, b], брать в обоих случаях одними и теми же, то разность( ) сведется к разности( ) двух сумм Стилтьеса , относящихся уже к промежутку [а, с], ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a, с] и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . Аналогично устанавливается и существование интеграла

Надо отметить что из существования обоих интегралов

, вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Теорема(Больцано–Коши). Для того чтобы функция f(x) при стремлении x к а имела конечный предел ,т.е. сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое число >0 , чтобы неравенство &bsol;f(x)-f(x')&bsol; выполнялось, лишь только

5. Интегрирование по частям.

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

в предположении, что существует один из этих интегралов. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям.

Доказательство:

Пусть существует интеграл

. Разложим промежуток [a,b] на части (i=0, 1, …, n-1), выберем в этих частях произвольно , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и отнять справа выражение

то

перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла

(существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка [a,b] точками деления

если в качестве выбранных из промежутков

(i= 1, …, n-1) точек взять , а для промежутков [a, ] и [ , b], соответственно, a и b. Если положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2 . При сумма в квадратных скобках стремится к следовательно, существует предел , т.е. интеграл и этот интеграл определяется формулой (9).

Если функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема по функции g(x).

6. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b], а g(x) монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьес а с помощью подстановки =g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции

=g(x). Для тех значений x=x’, при которых функция g(x) испытывает скачок, дополним график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (x’,g(x’-0) ) и (x’,g(x’+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению v между и V=g(b) относит одно определенное значение x между a и b. Эта функция будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями

, которые функция действительно принимает при изменении от a до b, то является обратной для нее в обычном смысле, т.е. относит именно те значения , при которых . Но из промежутка значений [g(x’-0), g(x’+0)], связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующим значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения не отвечают. Условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.