Интеграл Стилтьеса (стр. 7 из 7)

а выбранной на дуге

точке – значение

(

). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде

Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса:

Аналогично и

Отсюда следуют общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию

непрерывной, а функцию имеющей ограниченное изменение (п.3, ).

В частности, если кривая AB спрямляема, а функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны, то существует интеграл

12. Примеры.

№1 Вычислить по формуле

а)

б) (s)

=

в)(s)

=

№2 Вычислить по формуле

а) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

скачок -2, при х=2

в остальных точках

, т.к. g(x)=const

(S)

б) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=

скачок -2, при х=

в остальных точках

, т.к. g(x)=const

(S)

№3 Вычислить по формуле

При

а)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

скачок 1, при х=

б)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

скачок 1, при х=

+

в)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

скачок 1, при х=

+

=

№4

а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=1 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1

В точке х=2 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х

В точке х=3 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7

Итого:

Ф(х)=

б) Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=2 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=

В точке х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=

Итого:

Ф(х)=

в) Выяснить распределение масс, если Ф(х)

Решение.

При х=-1 и 0 функция испытывает скачок =1 => массы величины 1 в точках х=-1 и 0, в промежутке [-2,-1] непрерывно распределенные массы с плотностью 1, т.к. , в промежутке [0,2] непрерывно распределенные массы с плотностью 2х, т.к.

Список литературы

1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.Москва 1960

2. http://www.phismat.ru/dif.php