Стилтьес Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Окончил Политехническую школу в Делфте. Работал на Лейденской обсерватории, с 1886 года преподаватель, затем профессор Университета в Тулузе. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.

Определяется интеграл Стилтьеса следующим образом.

Пусть в промежутке [a,b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x). Разложим точками

промежуток [a,b] на части и положим

Выбрав в каждой из частей

(i=0, 1,…,n-1) по каждой точке

, вычислим значение f(

) функции f(x) и умножим его на соответствующее промежутку

приращение функции g(x)

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса

при стремлении

к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) и обозначается символом

Чтобы особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла.

Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа

существует такое число

, что лишь только промежуток [a,b] раздроблен на части так, что

, тотчас же выполняется неравенство

Как бы ни выбирать точки

в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции

Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что

умножается не на приращение

независимой переменной, а на приращение

второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции

взята сама независимая переменная x:

Мы для определенности предполагали a<b; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда a>b. Впрочем, он непосредственно приводится к предыдущему ввиду равенства

2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограниченность, впрочем, предположением, что функция

монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при a<b теперь все

, наподобие того, как раньше было

. Аналогично сумма Дарбу, здесь целесообразно ввести сумм

где означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f(x) в i-ом промежутке

. эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу - Стилтьеса.

При одном и том же разбиении

, причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм

. Сами суммы Дарбу – Стилтьеса обладают следующими свойствами:

1-е свойство: Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшится.

2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу – Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу – Стилтьеса:

то оказывается, что

Наконец, с помощью сумм Дарбу – Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было

или

если под

понимать колебание

функции f(x) в i-ом промежутке

3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.

Определение функции с ограниченным изменением:

Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a,b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления:

Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму

Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f(x) в промежутке [a,b] имеет ограниченное изменение ( или ограниченную вариацию). При этом точную верхниюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом

I. Если функция f(x) непрерывна, а функция

имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

существует.

Сначала предположим, что

монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего пункта. По произвольному заданию

ввиду равномерной непрерывности функции f(x) найдется такое

, что в любом промежутке с длиной, меньшей

, колебание f(x) будет меньше

. Пусть теперь промежуток [a,b] произвольно разбит на части так, что

. Тогда все

Интеграл Стилтьеса (стр. 1 из 7)

1.Определение интеграла Стилтьеса.

2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.