Биекторы в конечных группах (стр. 5 из 6)

Доказательство. Пусть

. Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .

Пусть

--- подгруппа Фиттинга. Так как --- -инъектор в , то по лемме подгруппа является -холловской подгруппой в .

Так как

нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме . Поскольку , то - -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, --- -холловская подгруппа.

Следствие Пусть

--- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе

существует

-биектор

, то

является

-холловской подгруппой группы

.

Замечание. Группа

не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .

Теорема Пусть

--- радикальный класс Шунка и

--- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе

существует

-биектор, то

.

Доказательство. Предположим, что

не содержится в , и пусть --- группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и --- -подгруппа в , то и .

Пусть

--- -биектор в . Тогда --- -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как --- гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .

Следствие Если

--- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует

-биектор, то

.

Следствие Если

--- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует

-биектор, то

.

Для натурального числа

через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при --- класс всех метанильпотентных групп.

Лемма Для любого натурального числа

, класс

является радикальной насыщенной наследственной формацией.