Разрешимость конечных групп (стр. 14 из 16)

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы

. Ясно, что и по лемме 2 есть -группа, a - -группа. Ввиду леммы 2 можно считать, что , и выбрать . Из леммы 3 следует, что , .

Предположим, что

- силовская в . Тогда и , т.е. делит . Это возможно лишь при и . Противоречие. Итак - не силовская в . Если не делит порядок , то , поэтому и - циклическая порядка, делящего . В частности, силовская 2-подгруппа в - циклическая. Противоречие. Следовательно, делит порядок .

Допустим, что

максимальна в . Так как , то представление перестановками смежных классов по будет точным степени и будет примитивной группой с разрешимой нормальной -подгруппой . По теореме II.3.2 и . Поэтому изоморфна подгруппе из и делит . Так как делит , то делит и . Противоречие.

Следовательно,

немаксимальна в . Представление группы перестановками правых смежных классов по подгруппе - точное степени . Поэтому можно считать транзитивной импримитивной группой перестановок. Все области импримитивности имеют одну длину и их штук. Поэтому обладает нормальной подгруппой , оставляющей все области импримитивности неподвижными, и фактор-группа изоморфна подгруппе из . Так как , то делит порядок и в есть перестановка порядка . Но каждая перестановка из разбивается на непересекающиеся циклы длины , поэтому нет в перестановки порядка . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть группа

, где

и

- подгруппы нечетных индексов. Если

разрешима, а коммутант подгруппы

2-замкнут, то

разрешима и

.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы

. В и в существуют силовские 2-подгруппы и такие, что и является силовской в . Так как индексы и нечетны, то является силовской 2-подгругшой в . Заметим, что если разрешима, то по лемме 2.4 (, с.101). Поэтому надо доказать лишь разрешимость группы.

Если

- нормальная в неединичная подгруппа, то для все условия теоремы выполняются и разрешима. Поэтому в нет разрешимых нормальных подгрупп и минимальная нормальная в подгруппа есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп.