Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 10 из 15)

и

получаем, что

. Итак, , и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что

, то . В этом случае

Так как

, то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа

-субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .

Так как формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .

Пусть

. Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как

, то – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть

, где – нормальная -подгруппа группы , . Так как

и

, то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно,

– формация Фиттинга.

Пусть

– -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы

. Пусть и – -субнормальные подгруппы группы и . Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.