Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 12 из 15)

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для

-субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого

формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы

покажем, что любая группа , где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .

Пусть

– минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что

Отметим также, что

где

– изоморфные простые группы для .

Докажем, что

. Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение

. Если

то

Отсюда и из того факта, что

– нормальная подгруппа и следует, что .

Пусть

. Так как – нормальная подгруппа из , то – нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации

и получаем, что . Но тогда .

Из строения

и

для любых

, следует, что для некоторого . Так как

то нетрудно видеть, что группа

имеeт -холловскую подгруппу .

Так как

, то – -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из

ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из

-субнормальности и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак,

содержит некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.