Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 13 из 15)

Лемма [1]. Пусть

– нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все

-субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где

для любых из ;

2) если

– формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что

является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть

– максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где

– единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( – простое число), а – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что

– циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно,

– циклическая группа порядка , где – некоторое простое число, , – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через – регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .

По теореме 6.2.8 из [2]

изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение

, где . Тогда , где – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что

.

Рассмотрим в

подгруппы и , где – база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как

, то по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно,

и – группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.

Покажем, что формация

имеет такой локальный экран , что

p(F)

p'(F) p(F) Действительно. Пусть – локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.