Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 2 из 15)
имеет место
, 
, 
,…, 
.Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если
субнормальна в 
, то существует единственная каноническая субнормальная 
-цепь.Доказательство. Пусть
– дефект подгруппы 
в группе 
. Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины 
. 
все субнормальные
-цепи длины 
( 
– второй индекс). Положим 
. Так как 
, то для любого 
, 
,…, 
мы имеем 
Таким образом, цепь
является субнормальной
-цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как 
при любых 
и 
, то теорема доказана.Теорема. Если
субнормальна в 
и 
– подгруппа 
, то пересечение 
есть субнормальная подгруппа .Доказательство. Рассмотрим субнормальную
-цепь минимальной длины :
Положим
. Получаем цепь 
Ясно, что она будет субнормальной, так как
. Действительно, пусть 
, значит, 
и 
. Тогда для любого 
, так как 
и 
.Мы получили субнормальную
-цепь. Теорема доказана.Следствие. Пусть
и 
– подгруппы группы . Если 
субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .Доказательство. Пусть
и цепь 
является субнормальной
-цепью.Положив
, получим субнормальную 
-цепь 
что и требовалось.
Теорема. Пусть
субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение 
есть субнормальная подгруппа в .Доказательство. Пусть
– наибольший из дефектов подгрупп и 
в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи 
Положим
, 
, 
,…, . Из 
, 
следует, что 
нормальна в 
. Следовательно, цепь 
является субнормальной
-цепью, что и доказывает теорему.Лемма. Если
субнормальна в , а 
– нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .Доказательство.
субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь 
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно, так как
и 
, то 
. Лемма доказана.