Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп (стр. 1 из 15)

Курсовая работа

"Решетки субнормальных и

-субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие

-субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.

В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие

-субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не

-группы.

В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для

-субнормальных подгрупп.

1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

Определение. Пусть

– подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой

для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение. Пусть

– подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма. Если

субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную

-цепь

то есть

субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема. Если подгруппа

субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Доказательство. Пусть

– дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что

не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что – дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как

, то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть

– субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной

-цепи