Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии (стр. 2 из 11)

На местности обозначены точки А и В. Найдите точку С, симметричную точке А относительно точки В.

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Для этого понадобится измерить в подходящих единицах длины расстояние между точками А и В.

Рис. 1

На местности обозначены три данные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную прямой ВС.

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку Dна расстоянии АВ от точки В (рис. 1). Продолжим прямую CDза точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии CDот точки С. Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника ADE. Предложенный способ выгодно отличается от множества других способов, опирающихся па измерение углов или на деление отрезка пополам.

Рис. 2

Найти середину отрезка АВ, заданного на местности двумя точками А и В.

Возьмем какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую ВС за точку С и отложим на ней точку Dна расстоянии 2ВС от точки С (рис. 2). Продолжим прямую ADза точку А и отложим на ней точку Е на расстоянии ADот точки А. Искомая середина Fотрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG— средней линии треугольника CDE(здесь G— середина отрезка CD). Так как, кроме того, BC=CG, то CF— средняя линия треугольника ABG, откуда AF=FB.

Быть может, приведенный способ нахождения середины отрезка покажется не самым простым. Однако его преимущества хорошо проявляются в следующей задаче, решив которую ученик сможет делить отрезок не только на две, но и на любое число равных частей.

Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KLи MN, заданных на местности точками K, Lи М, N. Как это сделать?

Построение точки F, делящей отрезок АВ в отношении AB:BF=KL:MN, произведем аналогично построению середины отрезка АВ , описанному в решении задачи 1.5. Отличие будет состоять только в том, что точку С выберем на расстоянии KLот точки В, а точку D – на расстоянии 2MN от точки С (рис.2). В этом случае прямая ЕС по-прежнему будет параллельна отрезку AG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок BG.

Рис. 3

На местности обозначены три точки А, М и N, не лежащие на одной прямой. Проложить биссектрису угла MAN?

Выберем на одной стороне данного угла (рис. 3) точки В и С, а на другой точки Dи Е так, чтобы выполнялись равенства

AB=ВС=АD=DE

Найдем точку О пересечения прямых BEи CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике АСЕ биссектриса AFявляется одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан ЕВ и CD.

Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через данную точку Н?

Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В еще две точки Dи Е в двух разных, но не противоположных направлениях (рис. 4). Найдем точку Fпересечения прямых АЕ и CD, а также точку Gпересечения прямых ADи СЕ.

Прямая FGперпендикулярна прямой АВ. Действительно, точки А, Е, Dи С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADCи АЕС прямые, поэтому ADи СЕ — высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FGперпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку Н, достаточно проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG.

Рис. 4 Рис. 5

На местности обозначены точки А и В. Найдите точки С, Dи Е, для которых выполнены равенства

=45є,

є ,

є.

Проложим перпендикуляр к прямой АВ, пересекающий в какой-то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложим точки С и F(рис. 5), удаленные от точи В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен

(из равнобедренного прямоугольного треугольника ABC). На прямой AFотложим точку Gна расстоянии АВ от точки А, затем на прямой ВС отложим точку Dна расстоянии СО от точки В. Тогда угол BADравен 60°, так как по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC, ACGи АВDимеют место равенства

AD=

.

Для построения точки Е теперь остается проложить биссектрису угла ВАD.

§

2.Измерения при различных ограничениях

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением — во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны [5]. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это поточнее.

Основными измерительными «приборами», которые всегда имеются «под рукой», являются: шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т. д. Не менее важно следить за надежностью способа, т.е. зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности [11].

Определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами достаточно легко. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удаленными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит ее на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всем старании вряд ли можно сделать один обычный шаг — для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы.

Для определения длины шага достаточно пройти какое-либо заранее известное и не слишком короткое расстояние, скажем между соседними километровыми или стометровыми столбиками на шоссе, и поделить это расстояние на количество сделанных шагов.

Отметим, что средняя длина шага взрослого человека примерно равна половине его роста, считая до уровня глаз.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдаленно напоминает движение гусеницы). Чтобы найти длину такого размаха своих пальцев, проще всего отложить вдоль какой-нибудь прямой одни или несколько десятков размахов пальцев, а затем поделить на их количество отложенную в результате длину.

§ 3.Преподавание математики в сельской школе

В особое внимание нуждается сельская школа. Ее состояние и уровень работы существенно влияет на социальное развитие села, закрепление молодежи, повышение культурного уровня сельского населения, решение демографических проблем в деревни. Перед сельской школой ставится задача воспитания у учащихся стремления активно участвовать в подъеме сельскохозяйственного производства [19].

Большие возможности естественной органической связи учебного материала с сельскохозяйственным производством имеются у учителя математики. Такая связь может осуществляться различными способами: сообщение учителя на уроках о применении изучаемых вопросов в сельскохозяйственной практике, решение задач прикладного характера, проведение практических работ и экскурсий.