Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии (стр. 7 из 11)

1.9. Необходимо узнать расстояние до высокого здания, которое можно увидеть прямо со двора дома Естественно, в городских условиях непосредственно пройти к зданию по прямой линии вам не удастся. Более того, геометрические построения можно осуществлять лишь на сравнительно небольшой площадке перед домом. Укажем способ для определения искомого расстояния.

Для нахождения расстояния от данной точки В до недоступной точки А можно использовать построения, аналогичные приведенным в решении задачи 1.8. с той лишь разницей, то точки Е и Fна рис. 27 следует выбрать ближе к точке D, т. е. на расстоянии, в одинаковое число раз меньшем длин отрезков BDи CDсоответственно. Во столько же раз отрезок GEокажется меньшим отрезка АВ, что вытекает из подобия треугольников BADи EGD.

1.10. Человек находится на одном берегу реки, а на другом, недоступном для него берегу расположены два объекта. Как измерить расстояние между ними?

Пусть А и В — недоступные точки, между которыми надо найти расстояние. Выберем на некоторой прямой три точки D, Е и Fтак, чтобы выполнялось равенство DE= —EF(рис. 28). При этом заранее побеспокоимся о том, чтобы точка С пересечения прямых AFи BDоказалась доступной и лежала с той же стороны от прямой DF, что и отрезок АВ: этого можно достичь уменьшением отрезка DFи переобозначением его концов. На продолжении отрезка СЕ за точку Е отметим точку Gна расстоянии СЕ от точки Е. Далее найдем точку Н пересечения прямых DGи АЕ, а также точку К, пересечения прямых FGи BE. Тогда искомое расстояние будет равно КН. Действительно, при преобразовании симметрии относительно центра Е точка С переходит в точку G, точка D— в точку F, прямая CD— в прямую GF, прямая BE— в себя, а точка В пересечения прямых CDи BE— в точку К пересечения GFи BE. Аналогично точка А при этом преобразовании переходит в точку Н, поэтому отрезок НК симметричен отрезку АВ относительно точки Е.

§2. На равном расстоянии

В настоящем параграфе рассматривается несколько практических задач, в которых нужно использовать геометрический материал для нахождения точек или линий на местности из соображений равенства каких-либо расстояний. Построения, которые понадобятся для решения этих задач, должны быть по возможности более простыми. Если они не потребуют никаких средств, выходящих за рамки простейшей геометрии на местности, то такие построения можно будет осуществить в обычных условиях без использования сколько-нибудь сложных измерительных приборов [2]. В противном случае для реализации построений можно изобразить исходную конфигурацию на плане и, решив задачу на бумаге с помощью циркуля и линейки, перенести результат на местность.

Ниже предполагается, что все населенные пункты имеют незначительные размеры и могут быть приняты в задачах за точки, а магистрали, каналы и железные дороги являются прямыми и имеют пренебрежимо малую ширину, т.е. могут быть представлены как прямые линии.

Задачи

2.1. Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

Обозначим через А и В данные в задаче населенные пункты и проведем на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдется).

2.2. Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми?

Пусть А, В и С — точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек А, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО=ОВ и ВО=ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца — точку О — можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

2.3. Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого протекает речка. Где построить мост через речку, чтобы расстояния от него до обеих магистралей были одинаковыми?

Проведем биссектрису угла, образованного магистралями. Так как все точки этой биссектрисы равноудалены от магистралей и никакие другие точки внутри угла этим свойствам не обладают, то мост через речку нужно построить в точке пересечения биссектрисы с речкой (если такая точка найдется).

2.4. Две магистрали пересекают канал в разных местах. Где нужно разместить пионерский лагерь, чтобы расстояния от него до канала и до каждой магистрали оказались одинаковыми? Укажите место расположения пионерского лагеря, при котором эти расстояния минимальны?

Каждая магистраль, пересекаясь с каналом, образует две пары вертикальных углов, а четыре их биссектрисы составляют две прямые (рис. 29). Так как все точки этих биссектрис равноудалены от канала и соответствующей магистрали, а никакие другие точки этим свойством не обладают, то все возможные места расположения пионерского лагеря, лежат на пересечениях биссектрис углов при разных вершинах А и В.

Рис. 29

Таких точек пересечения может быть, вообще говоря, четыре, поскольку любая из двух прямых, проходящихчерез вершину А, может пересечься с любой из двух прямых, проходящих через вершину В. Если магистрали не параллельны, то никакие пары этих прямых не параллельны и все четыре точки пересечения реализуются, а наименьшее расстояние до канала (а значит, и до магистралей) достигается в той точке О пересечения биссектрис, которая лежит внутри треугольника, образованного каналом и магистралями. Действительно, из двух точек пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине А с биссектрисами углов при вершине В ближе к вершине А (а значит, и к каналу) лежит точка О. Аналогично из двух точек пересечения, лежащих на биссектрисе внутреннего угла треугольника при вершине В, также выбираем точку О. Наконец, последняя точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника при вершинах А и В лежит вместе с точкой О на биссектрисе угла треугольника при вершине С, причем точка О лежит ближе к вершине С, следовательно, ближе к магистралям и, стало быть, к каналу. Если же магистрали параллельны, то четыре биссектрисы углов при вершинах А и В образуют параллелограмм (из-за симметрии всей картины относительно середины отрезка АВ), поэтому обе точки пересечения этих прямых равноудалены от канала.

2.5. В каком направлении через город должна проходить магистраль, чтобы два данных населенных пункта лежали по разные стороны от нее на одинаковом расстоянии?

Пусть через город А нужно провести магистраль, равноудаленную от пунктов В и С (рис. 30). Так как точки В и С должны лежать по разные стороны от искомой магистрали, то она должна пересечь отрезок ВС, причем точка пересечения должна совпадать с серединой этого отрезка (что вытекает из равенства соответствующих прямоугольных треугольников). Таким образом, искомая магистраль определена однозначно, если только сама точка А не совпадает с серединой отрезка ВС (в случае их совпадения годится любое направление).

Рис. 30

2.6. Как должна проходить магистраль, чтобы расстояния от нее до трех данных населенных пунктов были одинаковыми? Укажите положение магистрали, при котором эти расстояния минимальны.

Обозначим через А, В и С три данных населенных пункта. Если искомая магистраль может проходить так, чтобы все три точки лежали по одну сторону относительно магистрали (в том числе и на ней самой) и к тому же на равном расстоянии от нее, то точки А, В и С лежат на одной

Рис. 31

прямой, параллельной магистрали. В этом случае расстояние минимально, когда магистраль проходит через эти точки.

В противном случае две из данных точек, скажем А и В, должны лежать по одну сторону от искомой магистрали, а третья — по другую (рис. 31). Так как магистраль равноудалена от точек А и С, то она проходит через середину отрезка АС (см. решение задачи 2.5), а так как она равноудалена от точек В и С, то проходит и через середину отрезка ВС. Таким образом, мы доказали, что искомая магистраль проходит по одной из трех средних линий треугольника ABC.

Среди возможных расположений магистрали наименьшее расстояние до точек А, В и С, равное половине наименьшей высоты треугольника ABC, достигается, когда магистраль параллельна наибольшей стороне этого треугольника (точнее, какой-нибудь из наибольших сторон, если их несколько), поскольку наименьшая высота в треугольнике соответствует наибольшей стороне — ведь их произведение есть константа, равная удвоенной площади треугольника.

2.7. Магистраль пересекает канал под углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком направлении следует провести через этот пункт прямую дорогу, чтобы расстояния по ней до магистрали и до канала оказались одинаковыми?