Применение экономико-математических методов при решении конкретных аналитических задач

Установка опорн рам

Сетевой график строитель- Башенный кран

ства котельной.

Обозначения : каждый круг

считается одной из вершин

графика; цифра в верхнем Бетонир.

секторе каждой вершины Разработка фунд. по Обратная Монтаж

означает ее порядковый но- грунта ряду А засыпка колонн по А

мер; из номеров двух сосед-

них вершин складывается

шифр работы ; цифра в ниж-

нем секторе каждой вершины

является порядковым номе-

ром предшествующей верши-

ны, а линия, соединяющая эти

две вершины, означает опрде-

ленную работу. Внизу под ли-

нией записана плановая про-

должительность данной рабо-

ты; цифра в левом секторе ка-

ждой вершины означает общую

продолжительность всех пред-

шествующих работ, цифра в

правом секторе отличаетя от

цифры в левом на величину ре-

зерва ( запаса времени ). Таким

образом, для вершин, лежащих

на критическом пути, цифры в

левом и правом секторах вер-

шины совпадают, посколбку

запас времени равен 0.

Установка опорн рам

Сетевой график строитель- Башенный кран

ства котельной.

Обозначения : каждый круг

считается одной из вершин

графика; цифра в верхнем Бетонир.

секторе каждой вершины Разработка фунд. по Обратная Монтаж

означает ее порядковый но- грунта ряду A засыпка колонн по А

мер; из номеров двух сосед-

них вершин складывается

шифр работы ; цифра в ниж-

нем секторе каждой вершины

является порядковым номе-

ром предшествующей верши-

ны, а линия, соединяющая эти

две вершины, означает опрде-

ленную работу. Внизу под ли-

нией записана плановая про-

должительность данной рабо-

ты; цифра в левом секторе ка-

ждой вершины означает общую

продолжительность всех пред-

шествующих работ, цифра в

правом секторе отличаетя от

цифры в левом на величину ре-

зерва ( запаса времени ). Таким

образом, для вершин, лежащих

на критическом пути, цифры в

левом и правом секторах вер-

шины совпадают, посколбку

запас времени равен 0.

Карта задания и информации о ходе работ ( с 1 по 30 апреля )

Задание Информация Резерв времени

по работам

Резерв % тех- требуемое причи- фактиче- находя- не нахо- Чистый

времени ничес- время для на за- ская дата щимся на дящимся резерв времени

Наименование работ шифр дата дата плановая готов- окончания держ- окончания критиче- на критиче- с начала меся-

работ начала оконч. продолжи- ности работ ки работ ском пути ском пути ца, дней

работ работ тельность,

(план) (план) дней

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Разработка грунта 1-2 1/IV 6/IV 5 0 100 ---- ---- 6/IV ---- ----- ----

Бетонирование фундаме- 2-3 7/IV 17/IV 9 0 100 ---- ---- 14/IV 2 ----- 2

нтов под котлы

Бетонирование фундаме-

нтов по ряду А 2-4 7/IV 14/IV 7 2 100 ---- ---- 14/IV

То же по ряду Б 2-5 7/IV 14/IV 7 2 100 ---- ---- 14/IV

Устройство трубной

разводки 6-18 18/IV 21/IV 4 19 100 ---- ---- 29/IV ---- ---7 ----

Устройство обратной за

сыпки 6-7 18/IV 19/IV 2 0 100 ---- ---- 17/IV 2 ----- 2

Монтаж сборных желе-

зобетонных колонн :

по ряду Б

по ряду А

Карта задания и информации о ходе работ ( с 1 по 30 апреля )

Задание Информация Резерв времени

по работам

Резерв % тех- требуемое причи- фактиче- находя- не нахо- Чистый

времени ничес- время для на за- ская дата щимся на дящимся резерв времени

работ начала оконч. продолжи- ности работ ки работ ском пути ском пути ца, дней

работ работ тельность,

(план) (план) дней

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Разработка грунта 1-2 1/IV 6/IV 5 0 100 ---- ---- 6/IV ---- ----- ----

Бетонирование фундаме- 2-3 7/IV 17/IV 9 0 100 ---- ---- 14/IV 2 ----- 2

нтов под котлы

Бетонирование фундаме-

нтов по ряду А 2-4 7/IV 14/IV 7 2 100 ---- ---- 14/IV

То же по ряду Б 2-5 7/IV 14/IV 7 2 100 ---- ---- 14/IV

Устройство трубной

разводки 6-18 18/IV 21/IV 4 19 100 ---- ---- 29/IV ---- ---7 ----

Устройство обратной за

сыпки 6-7 18/IV 19/IV 2 0 100 ---- ---- 17/IV 2 ----- 2

Монтаж сборных желе-

зобетонных колонн :

по ряду Б 7-8 20/IV 22/IV 3 1 100 ---- ---- 22/IV ---- ----- -----

по ряду А 7-9 20/IV 22/IV 3 1 100 ---- ---- 22/IV ---- ----- -----

Устройство подкрано-

вых путей и монтаж

башенного крана 7-10 20/IV 24/IV 4 0 100 ---- ---- 22/IV 1 ---- 1

Установка опорных

рам на фундамент

под оборудование 7-16 20/IV 24/IV 4 14 100 ---- ---- 29/IV ---- ---5 ----

Монтаж подкрановых

балок :

по ряду Б : 8-11 24/IV 25/IV 2 1 100 ---- задержка

с постав-

кой ж./б

конструк-

ций

по ряду А : 10-12 25/IV 26/IV 2 0 100 ---- ---- 27/IV ---1 ---- ---1

Монтаж первой части

балок и плит покрытия 12-13 27/IV 4/IV 5 0 60 2 ---- ----- ---- ---- ----

Монтаж подкрановых пу-

тей мостового крана 12-14 27/IV 3/IV 4 1 0 2 ---- ---- ---- ---- ----

Устройство подкрано-

вых путей и монтаж

башенного крана 7-10 20/IV 24/IV 4 0 100 ---- ---- 22/IV 1 ---- 1

Установка опорных

рам на фундамент

под оборудование 7-16 20/IV 24/IV 4 14 100 ---- ---- 29/IV ---- ---5 ----

Монтаж подкрановых

балок :

по ряду Б : 8-11 24/IV 25/IV 2 1 100 ---- задержка

с постав-

кой ж./б

конструк-

ций

по ряду А : 10-12 25/IV 26/IV 2 0 100 ---- ---- 27/IV ---1 ---- ---1

Монтаж первой части

балок и плит покрытия 12-13 27/IV 4/IV 5 0 60 2 ---- ----- ---- ---- ----

Монтаж подкрановых пу-

тей мостового крана 12-14 27/IV 3/IV 4 1 0 2 ---- ---- ---- ---- ----

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

7.1. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для быстрого нахождения значения функций по соответствующему значению аргумента, для наг-

лядного изображения функциональных зависимостей.

В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравне-

ния, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля,

статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы срав-

нения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и пе-

редовых предприятий. Для наглядного изображения динамики экономических явлений ( а в

анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто ) используются диагра-

мы средних рядов.

С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня из-

держек от объема произведенной и реализованной продукции, а также графики, на кото-

рых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей коор-

динат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.

Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для

анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные

графики, в том числе графики множественных факторов.

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления

особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.

Сетевой график ( рис. 7.1 ) позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строи-

тельно-монтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на крити-

ческом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять

действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению воз-

можных задержек в работе.

Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие параметры, сокращение сроков строительства на 20-30% , повышение произ-

водительности труда на 15-20%.

При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов

сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.

Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продол-

жительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплексов объектов, проек-

тно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых тех

нологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того,

при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о

производственной базе строительных и монтажных организаций.

На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологичес-

кой последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоем-

кость в человеко-днях, исполнитель ( организация и бригада ), численность рабочих, сменность,

потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после окончания которого можно

начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график

который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы производ

ства работ и уровня руководства; кроме общего графика выполняемых ими работ.

Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависи

мость.

При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли состав-

лен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оп-

тимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспе-

чивает окончание строительства и срок.

Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является ин-

формация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду.

В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строи-

тельства,осуществляемому по сетевому графику ( табл.7.1). По данным карты, критические рабо-

ты выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отстава-

ние монтажа подкрановых балок по ряду Б— , а последующая работа — монтаж подкрановых

балок по ряду А — закончена с отставанием на один день.

Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством

сокращения критического пути, т.е. минимизация сроков выполнения строительных работ при за-

данных уровнях ресурсов, минимизация уровня потребления материальных, трудовых и финансо-

вых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешан-

ный подход: для одной части работ ( более дорогостоящих ) — минимизировать сроки при фикси-

рованном уровне ресурсов.

Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов приклад-

ных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.

В зарубежной практике системного анализа распространен графо-математический метод, получивший название “ дерево решений “. Суть этого метода заключается в следующем.

варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются укрупненные варианты. Затем по

мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгодные из них и избрать

наиболее приемлемый.

Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при

установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении

транспортных и других задач.

МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Метод корреляционного и регрессинного анализа широко используется

для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в фун-

кциональной зависимости. Теснота связи между изучаемыми явлениями измеряется корреляционным отношением ( для криволинейной зависимости ).

Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции.

Одной из распространенных аналитических задач, решаемых с приме-

нением корреляционно-регрессионного метода, является задача на запуск — выпуск. Допустим, что имеются фактические данные о запуске и выпуске промышленных изделий ( таблю 7.2 ).

Таблица 7.2. Фактические данные о запуске — выпуске

промышленных изделий, тыс. шт.

Запуск xi 18

xi=102

Выпуск yi

17,9

20,9

11,6

18,7

14,1

12,9

yi=95,4

Требуется определить зависимость выпуска изделий в среднем от их запуска, составив соответствующее уравнение регрессии.

Значения x и y определяются по формулам:

x= ; y= ; n=6, i=1, ..... , 6;

102 95,4

x= 6 = 17 ; y = 6 = 15,9.

Дальнейшим вычислениям придается табличная форма, что повышает

их наглядность.

( x i - x )

( xi yi - xi yi )

( yi - y )

(xi - xi ) ( yi - y )

1 1 1,3 1,69 1,3

5 25 5 25 25

— 4 16 — 4,3 18,49 17,2

3 9 2,8 7,84 8,4

— 2 4 — 1,8 3,24 3,6

— 3 9 — 3 9 9

( xi - x ) = 64 ( yi - y ) = 65,26 ( xi - x ) ( yi - y )=64 , 5

i i i

Теснота связи между показателями запуска и выпуска измеряется коэффи-

циентом корреляции, который исчисляется по формуле

Подставляя соответствующие значения, получим:

10,75 10,75

V= 3,27 * 3,30 = 10,79 = 0,996.

Считая формулу связи линейной ( y=a0 + a1 x ), определим зависимость

выпуска промышленных изделий от их запуска. Дя этого решается система

нормальных уравнений:

na + a1 xi = yi

i i

a0 xi + a1 xi = xi yi

Величины x2 и xi yi предсавлены в следующей таблице

324

484

169

400

225

196

xi=1798

xi yi

309,6

459,8

150,8

374,0

211,5

180,6

xi yi =1686,3

Значение a0 определяем из первого уровнения:

6a0+ 102a1 =95,4;

102a0+1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0 = 6 , или a0 = 15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим

значение а1:

102 (15,9 — 17a1)+1798a1 = 1683,3;

1621,8 — 1734a1 + 1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0= 6 , или a0=15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а1:

102 ( 15,9 — 17а1)+1798а1=1686,3;

1621,8 — 1734а1+1798а1=1686,3;

64a1=1686,3 — 1621,8;

64a1=64,5; a1=1,01;

a0=15,9 — 17 * 1,01; a0=15,9 — 17,17;

a0= — 1;

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следу-

ющий вид:

y= — 1,27+1,01x

Проверка:

y= — 1,27+1,01 * 17= — 1,27+17,17;

y=15,9.

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы линейного программирования прпименяются для решения

многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь

дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений ( максимума и минимума ) некоторых функций переменных величин.

Линейное программирование основано на решении системы линей-

ных уравнений ( с преобразованием в уравнения и неравенства ), когда зави-

симость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него ха-

рактерны математическое выражение переменных величин, определенный по-

рядок, последовательность расчетов ( алгоритм ), логический анализ. Приме-

нять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величи-

ны и факторыимеют математическую определенноость, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость фак-

торов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логи-

чески обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью этого метода в промышленном производстве, например,

исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточ-

ных линий ( при заданном ассортименте прдукции и иных заданных величин)

решается задача рационального раскроя материалов ( с оптимальным выхо-

дом заготовок ). В селбском хозяйстве он используется для определения ми-

нимальной стоимости кормовых рационов при заланном количетве кормов ( по видам и содержащимся в них питательным веществам ). Задача о смесях

может найти применение и в литейном производстве ( состав металлургичес-

кой шихты ). Этим же методом решаются транспортная задача, задача раци-

онального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-произво-

дителям.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейиого про-

граммирования, отличаются альтернативностью решения и опрделенными ограничивающими у

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

7.1. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

лядного изображения функциональных зависимостей.

В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравне-

ния, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля,

статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы срав-

нения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и пе-

редовых предприятий. Для наглядного изображения динамики экономических явлений ( а в

анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто ) используются диагра-

мы средних рядов.

С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня из-

держек от объема произведенной и реализованной продукции, а также графики, на кото-

рых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей коор-

динат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.

анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные

графики, в том числе графики множественных факторов.

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления

действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению воз-

можных задержек в работе.

водительности труда на 15-20%.

При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов

Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продол-

жительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплексов объектов, проек-

тно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых тех

нологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того,

при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о

производственной базе строительных и монтажных организаций.

На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологичес-

кой последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоем-

кость в человеко-днях, исполнитель ( организация и бригада ), численность рабочих, сменность,

начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график

который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы производ

ства работ и уровня руководства; кроме общего графика выполняемых ими работ.

Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.

При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли состав-

лен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оп-

чивает окончание строительства и срок.

Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является ин-

формация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду.

В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строи-

тельства,осуществляемому по сетевому графику ( табл.7.1). По данным карты, критические рабо-

ты выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отстава-

ние монтажа подкрановых балок по ряду Б— , а последующая работа — монтаж подкрановых

балок по ряду А — закончена с отставанием на один день.

Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством

сокращения критического пути, т.е. минимизация сроков выполнения строительных работ при за-

данных уровнях ресурсов, минимизация уровня потребления материальных, трудовых и финансо-

вых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешан-

ный подход: для одной части работ ( более дорогостоящих ) — минимизировать сроки при фикси-

рованном уровне ресурсов.

Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов приклад-

ных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.

варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются укрупненные варианты. Затем по

наиболее приемлемый.

транспортных и других задач.

МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Метод корреляционного и регрессинного анализа широко используется

для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в фун-

Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции.

Одной из распространенных аналитических задач, решаемых с приме-

Таблица 7.2. Фактические данные о запуске — выпуске

промышленных изделий, тыс. шт.

Запуск xi 18

xi=102

Выпуск yi

17,9

20,9

11,6

18,7

14,1

12,9

yi=95,4

Значения x и y определяются по формулам:

x= ; y= ; n=6, i=1, ..... , 6;

102 95,4

x= 6 = 17 ; y = 6 = 15,9.

Дальнейшим вычислениям придается табличная форма, что повышает

их наглядность.

( x i - x )

( xi yi - xi yi )

( yi - y )

(xi - xi ) ( yi - y )

1 1 1,3 1,69 1,3

5 25 5 25 25

— 4 16 — 4,3 18,49 17,2

3 9 2,8 7,84 8,4

— 2 4 — 1,8 3,24 3,6

— 3 9 — 3 9 9

( xi - x ) = 64 ( yi - y ) = 65,26 ( xi - x ) ( yi - y )=64 , 5

i i i

Теснота связи между показателями запуска и выпуска измеряется коэффи-

циентом корреляции, который исчисляется по формуле

Подставляя соответствующие значения, получим:

10,75 10,75

V= 3,27 * 3,30 = 10,79 = 0,996.

Считая формулу связи линейной ( y=a0 + a1 x ), определим зависимость

выпуска промышленных изделий от их запуска. Дя этого решается система

нормальных уравнений:

na + a1 xi = yi

i i

a0 xi + a1 xi = xi yi

Величины x2 и xi yi предсавлены в следующей таблице

324

484

169

400

225

196

xi=1798

xi yi

309,6

459,8

150,8

374,0

211,5

180,6

xi yi =1686,3

Значение a0 определяем из первого уровнения:

6a0+ 102a1 =95,4;

102a0+1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0 = 6 , или a0 = 15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим

значение а1:

102 (15,9 — 17a1)+1798a1 = 1683,3;

1621,8 — 1734a1 + 1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0= 6 , или a0=15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а1:

102 ( 15,9 — 17а1)+1798а1=1686,3;

1621,8 — 1734а1+1798а1=1686,3;

64a1=1686,3 — 1621,8;

64a1=64,5; a1=1,01;

a0=15,9 — 17 * 1,01; a0=15,9 — 17,17;

a0= — 1;

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следу-

ющий вид:

y= — 1,27+1,01x

Проверка:

y= — 1,27+1,01 * 17= — 1,27+17,17;

y=15,9.

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы линейного программирования прпименяются для решения

многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь

дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значении ( максимума или минимума ) некоторых функций переменных величин.

Линейное программирование основано на решении системы линей-

ных урвнений ( с преобразованием в уравнения неравенства ), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна.

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

7.1. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

му значению аргумента, для наглядного изображения функциональных зависимостей.

В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широ-

ко распространены в анализе диаграммы сравнения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприя-

тий. Для наглядного изображения динамики экономических явлений ( а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто ) ис-

пользуются диаграммы средних рядов.

С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной прод

укции, а также графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение оказывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.

Широко применяется графический метод для исследования производст венных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественн-

ых факторов.

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой эко-

номический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.

Сетевой график позволяет выделить из всего комплекса работ наи-

более важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительно-монтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.

При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.

Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплексов объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.

На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель ( орга-

низация и бригада ), численность рабочих, сменность, потребность в механиз-

мах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после оконча-

ния которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы производства работ и уровня руководства; кроме общего графика выполняемых ими работ.

Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.

При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завыше-

ние критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможнос-

ти его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механиза-

ции и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства и срок.

Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду. В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строительства, осуществляемому по сетевому графику . По данным карты, критические работы выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отставание монтажа подкрановых балок по ряду Б— , а последующая работа — монтаж подкрановых

балок по ряду А — закончена с отставанием на один день.

Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т.е. минимизация сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизация уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ ( более дорогостоя-

щих ) — минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.

Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов прикладных программ (ППП), приспособленных к состав-

лению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.

Путем предварительной оценки потребностей, предварительного анализа возможных организационных, технических или технологических условий намечаются все предполагаемые варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются укрупненные варианты. Затем по мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгод-

ные из них и избрать наиболее приемлемый.

Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресур-

сов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при ре-

шении транспортных и других задач.

МЕТОД КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Метод корреляционного и регрессинного анализа широко используется

для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в фун-

Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции.

Одной из распространенных аналитических задач, решаемых с приме-

нением корреляционно-регрессионного метода, является задача на запуск — выпуск. Допустим, что имеются фактические данные о запуске и выпуске промышленных изделий.

Фактические данные о запуске — выпуске

промышленных изделий, тыс. шт.

Запуск xi 18

xi=102

Выпуск yi

17,9

20,9

11,6

18,7

14,1

12,9

yi=95,4

Значения x и y определяются по формулам:

x= ; y= ; n=6, i=1, ..... , 6;

102 95,4

x= 6 = 17 ; y = 6 = 15,9.

Дальнейшим вычислениям придается табличная форма, что повышает

их наглядность.

( x i - x )

( xi yi - xi yi )

( yi - y )

(xi - xi ) ( yi - y )

1 1 1,3 1,69 1,3

5 25 5 25 25

— 4 16 — 4,3 18,49 17,2

3 9 2,8 7,84 8,4

— 2 4 — 1,8 3,24 3,6

— 3 9 — 3 9 9

( xi - x ) = 64 ( yi - y ) = 65,26 ( xi - x ) ( yi - y )=64 , 5

i i i

Теснота связи между показателями запуска и выпуска измеряется коэффи-

циентом корреляции, который исчисляется по формуле

Подставляя соответствующие значения, получим:

10,75 10,75

V= 3,27 * 3,30 = 10,79 = 0,996.

Считая формулу связи линейной ( y=a0 + a1 x ), определим зависимость

выпуска промышленных изделий от их запуска. Для этого решается система

нормальных уравнений:

na + a1 xi = yi

i i

a0 xi + a1 xi = xi yi

Величины x2 и xi yi представлены в следующей таблице

324

484

169

400

225

196

xi=1798

xi yi

309,6

459,8

150,8

374,0

211,5

180,6

xi yi =1686,3

Значение a0 определяем из первого уравнения:

6a0+ 102a1 =95,4;

102a0+1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0 = 6 , или a0 = 15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим

значение а1:

102 (15,9 — 17a1)+1798a1 = 1683,3;

1621,8 — 1734a1 + 1798a1 =1686,3;

95,4 — 102a1

a0= 6 , или a0=15,9 — 17a1.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а1:

102 ( 15,9 — 17а1)+1798а1=1686,3;

1621,8 — 1734а1+1798а1=1686,3;

64a1=1686,3 — 1621,8;

64a1=64,5; a1=1,01;

a0=15,9 — 17 * 1,01; a0=15,9 — 17,17;

a0= — 1;

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следу-

ющий вид:

y= — 1,27+1,01x

Проверка:

y= — 1,27+1,01 * 17= — 1,27+17,17;

y=15,9.

МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы линейного программирования применяются для решения

многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь

Линейное программирование основано на решении системы линей-

ных уравнений ( с преобразованием в уравнения и неравенства ), когда зави-

симость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него ха-

рактерны математическое выражение переменных величин, определенный по-

рядок, последовательность расчетов ( алгоритм ), логический анализ. Приме-

нять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величи-

ны и факторы имеют математическую определенность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость фак-

торов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логи-

чески обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью этого метода в промышленном производстве, например,

исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточ-

ных линий ( при заданном ассортименте продукции и иных заданных величин)

решается задача рационального раскроя материалов ( с оптимальным выхо-

дом заготовок ). В сельском хозяйстве он используется для определения ми-

нимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов ( по видам и содержащимся в них питательным веществам ). Задача о смесях

может найти применение и в литейном производстве ( состав металлургичес-

кой шихты ). Этим же методом решаются транспортная задача, задача раци-

онального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-произво-

дителям.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного про-

граммирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит из всех допус-

тимо возможных ( альтернативных ) вариантов лучший, оптимальный. Важно- сть и ценность использования в экономике метода линейного программиро-

вания состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значи-

тельного количества альтернативных вариантов. При помощи других спосо-

бов решать такие задачи практически невозможно.

В качестве примера рассмотрим решение задачи рациональности ис-

пользования времени работы производственного оборудования.

В соответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец подшипников типа А, 300 колец типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух вза-

имозаменяемых станках разной производительности. Машинное время каждо-

го станка составляет 5000 мин. Трудоемкость операций ( в минутах на одно

кольцо ) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными:

Затраты времени на одно кольцо

Станки типов, мин

А Б В

1 4 10 10

2 6 8 20

Следует определить оптимальный вариант распределения операций

по станкам и время, которое было затрачено при этом оптимальном варианте. Задачу выполним симплексным методом.

Для составления математической модели данной задачи введем следующие условные обозначения:

x1, x2, x3 — cоответсвенно количество колец для подшипников типов А, Б, В,

производимых на станке 1;

x4, x5, x6 ---- соответственно количество колец подшипников типов А, Б, В, производимых на станке 2.

Линейная форма, отражающая критерий оптимальности, будет иметь вид:

min a ( x ) = 4x1+10x2+10x3+6x4+8x5+20x6

при ограничениях

4x1+10x2+10x3 < =5000

6x4+8x5+20x6 < =5000

x1 +x4 = 500

x2 +x5 = 300

x3 +x6 = 450

xi >=0, j = 1, . . . . , 6

Преобразуем условие задачи введением дополнительных ( вспомога-

тельных ) и фиктивных переменных. Условие запишем так :

min a( x ) = 4x1+10x2+10x3+6x4+8x5+20x6+Mx9+Mx10+Mx11.