Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач (стр. 4 из 14)
.Так как
, то 
.Ответ:
.В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда
. Оказывается, если 
тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения 
, которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.Пример 4. Решить уравнение
[4].Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная
может принимать любые действительные значения, положим 
. Тогда 
, 
,так как 
.Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид
.Так как
, поделим обе части уравнения на 
, получим 
.Пусть
, тогда 
. Уравнение примет вид 
. 
.Учитывая подстановку
, получим совокупность из двух уравнений 
.Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.
1)
. 
. 
не может быть значением синуса, так как 
для любых значений аргумента. 
.Откуда
.Так как
и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что 
.2)
. 
.Это уравнение корней не имеет, так как
.Итак, исходное уравнение имеет единственный корень
.Ответ:
.Алгебраическое решение
Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку
, предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].Положим
, тогда 
Преобразуем правую часть уравнения : 
.С учетом преобразований уравнение
примет вид 
.Введем замену
, тогда 
.Второй корень является лишним, поэтому
, а 
.Ответ:
.Если заранее не известна идея решения уравнения 
, то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени 
, найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения 
, если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой 
технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.
Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.
Пример 5. Решить уравнение
[51].Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная
может принимать любые действительные значения, можно положить 
. Уравнение примет вид 
.В силу того, что
, можно раскрыть модуль 
.Так как
, то 
.Ответ:
.