Алгебра 10 класс Мерзляк академ (стр. 2 из 6)

• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.

Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позначають символом ∅.

1. Наведіть приклади множин.

2. Як позначають множину та її елементи?

3.

Як позначають множини натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел?

4. Як записати, що елемент a належить (не належить) множині A?

5. Які множини називають рівними?

6. Які існують способи задання множин?

7. Яку множину називають порожньою? Як її позначають?

šÇȸºÀ

1.° Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін?

2.° Як називають множину вовків, які підкорюються одному ватажку?

3.° Назвіть яку-небудь множину запорізьких козаків.

4.° Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі?

5.° Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:

1) 5 * ; 3) –5 * ; 5) 3,14 * ; 7) 1 * 

2)

0 * ; 4) − * ; 6) π * ; 8) 2 * R.

1. Множина та її елементи

6.° Дано функцію f (x) =x² + 1. Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження:

1) 3 * D (f); 3) 0 * E (f); 5) 1,01 * E (f).

2) 0 * D (f); 4)

* E f( );

7.° Які з наступних тверджень є правильними:

1) 1 ∈ {1, 2, 3}; 3) {1} ∈ {1, 2}; 2) 1 ∉ {1}; 4) ¾∉ {1, 2}?

8.° Запишіть множину коренів рівняння:

1) x (x – 1) = 0; 3) x= 2;

2) (x – 2) (x² – 4) = 0; 4) x² + 3 = 0.

9.° Задайте переліком елементів множину:

1) правильних дробів зі знаменником 7;

2) правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;3) букв у слові «математика»; 4) цифр числа 5555.

10.^• Чи рівні множини A і B, якщо:

1) A = {1, 2}, B = {2, 1}; 2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)}; 3) A = {1}, B = {{1}}?

11.^• Чи рівні множини A і B, якщо:

1) A= [–1; 2), B= (–1; 2];

2) A — множина коренів рівняння | x | =x, B= [0; +∞);

3) A — множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні; B — множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?

12.^• Які з наступних множин дорівнюють порожній множині: 1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°;

2) множина гірських вершин заввишки понад 8800 м;

3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої вона проведена; 4) множина функцій, графіком яких є коло?

šÇȸºÀ¼Ã×ÇƺÊÆȽÅÅ×

13. Розв’яжіть рівняння:
1) x2 – 7x= 0; 3) x2 – 12x + 24 = 0;	5) 2x2 – 5x + 3 = 0;
2) 4x2 – 5 = 0; 4) –x2 – 8x + 9 = 0;	6) 16x2 + 24x + 9 = 0.

14. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) 6 – 4x > 7 – 6x; 7) x² – 8x + 7 > 0;

2) 12 – 5x < 3 – 2x; 8) x² + x – 2 m 0;

3) 8 + 6y < 2 (5y – 8); 9) 9 – x²l 0;

4) 7a – 3 l 7 (a + 1); 10) 6x² – 2x < 0;

5) 4 (2 + 3b) – 3 (4b – 3) > 0; 11) –x² + 3x + 4 > 0;

6) ^12−9xl7. 12) 0,2x² > 1,8x. 7

2. Підмножина. операції над множинами

Розглянемо множину цифр десяткової системи числення A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини A ті її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину B= {0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами мно- жини A.

означення.Множину B називають підмножиною множини A, якщо кожний елемент множини B є елементом множини A.

Це записують так: B⊂A або A⊃B (читають: «множина B є підмножиною множини A» або «множина A містить множину B»).

Наприклад,  ⊂ ,  ⊂ ,  ⊃ ,  ⊂ , {a} ⊂ {a, b}, (1; 2] ⊂

⊂ [1; 2], [2; 5] ⊂ (1; +∞).

Множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи.

Множина ссавців є підмножиною множини хребетних.

Множина точок променя CB є підмножиною множини точок прямої AB (рис. 1).

Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами ейлера.

На рисунку 2 зображено множину A (більший круг) і множину B (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що B⊂A (або A⊃B).

На рисунку 3 за допомогою діа грам Ейлера показано співвідношення між множинами , ,  і .

З означень підмножини і рівності множин випливає, що коли A⊂B і B

AC B ⊂A, то A=B.

Будь-яка множина A є підмножиРис. 1 ною самої себе, тобто A⊂A.

 ⊂  ⊂  ⊂ 

Рис. 2 Рис. 3

Якщо в множині B немає такого елемента, який не належить множині A, то множина B є підмножиною множини A. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будьякої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині A. Тому для будь-якої множини A справедливе твердження: ∅⊂A.

Приклад Випишіть усі підмножини множини A= {a, b, c}.

Розв’язання. Маємо: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}, ∅.

Нехай A — множина розв’язків рівняння x + y= 5, а B — множина розв’язків рівняння x – y= 3. Тоді множина C розв’язків системи рівнянь

x y+ = 5, ^x y− = 3

складається з усіх елементів, які належать і множині A, і множині B. У такому випадку кажуть, що множина C є перетином множин A і B.

означення.перетином множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині A, і множині B.

Перетин множин A і B позначають

так: A ÇB. _{1 2 3}

Наприклад, [–1; 3) Ç(2; +∞) =

= (2; 3) (рис. 4). Рис. 4

Якщо множини A і B не мають спільних елементів, то їх перетином є порожня множина, тобто A Ç B=∅. Також зазначимо, що A Ç ∅=∅.

З означення перетину двох множин випливає, що коли A⊂B, то A Ç B=A, зокрема, якщо B=A, то A Ç A=A. Наприклад,

 Ç  = ,  Ç  = .

Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 5 заштрихована фігура зображує множину A Ç B.

а) б)

Рис. 5

Для того щоб розв’язати рівняння (x² – x) (x² – 1) = 0, треба розв’язати кожне з рівнянь x² – x= 0 і x² – 1 = 0.

Маємо: A= {0, 1} — множина коренів першого рівняння, B= {–1, 1} — множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина C= {–1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або множині A, або множині B, є множиною коренів заданого рівняння. Множину C називають об’єднанням множин A і B.

означення. об’єднанням множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B.

Об’єднання множин A і B позначають так: A È B.

Наприклад, (–3; 1)È(0; 2] = (–3; 2], (–∞; 1)È(–1; +∞) =

= (–∞; +∞).

Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел дорівнює множині дійсних чисел.

Зауважимо, що A È∅=A.

З означення об’єднання двох множин випливає, що коли A⊂B, то A È B=В, зокрема, якщо B=A, то A È A=A.

Наприклад, È = Q, È = .

Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 6 заштрихована фігура зображує множину A È B.

а) б)

в)

Рис. 6

Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків рівнянь (нерівностей), то кажуть, що треба розв’язати сукупність рівнянь (нерівностей).

Сукупність записують за допомогою квадратної дужки. Так, щоб розв’язати рівняння (x² – x) (x² – 1) = 0, треба розв’язати сукупність рівнянь

x² − x = 0, ^x² −1 = 0.

1. Яку множину називають підмножиною даної множини?