Алгебра 10 класс Мерзляк академ (стр. 4 из 6)

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна yфункціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y=f (x).

Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y).

Наприклад, областю визначення функції y = x₂¹−1 є множина

D(y) = (–∞; –1)È(–1; 1)È(1; +∞).

Множину значень, яких набуває залежна змінна y, тобто множину Y, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Наприклад, областю значень функції y = x² + 1 є множина E (y) = [1; +∞).

Елементами множин D (f) і E (f) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи.

Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел.

Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня.

Коли D (f) ⊂  і E (f) ⊂ , функцію f називають числовою.

Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким можна за кожним значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної з області значень.

Функцію можна задати одним з таких способів:

• описово;

• за допомогою формули; •за допомогою таблиці;

• графічно.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули. Наприклад, якщо функція f задана форму-

лою f x( ) = ¹ , то її областю визначення є область визначення

x−1

1

виразу , тобто проміжок (1; +∞).

x−1

означення.графіком числової функ ціїf називають геометричну фі гу ру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції f.

Сказане означає, що коли якась фігура є графіком функції f, то виконуються дві умови:

1) якщо x₀ — деяке значення аргументу, а f (x₀) — відповідне значення функції, то точка з координатами (x₀; f (x₀)) належить графіку;

2) якщо (x₀; y₀) — координати довільної точки графіка, то x₀ і ^y₀ — відповідні значення незалежної і залежної змінних функції f, тобто y₀=f (x₀).

Фігура на координатній площині може бути графіком деякої числової функції, якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не більше однієї спільної точки. Наприклад, коло не може слугувати графіком жодної функції:

тут за заданим значенням аргументу x не завжди однозначно знаходиться значення змінної y (рис. 7).

Графічний спосіб задання функції широко застосовується при дослідженні реальних процесів. Існують прилади, які видають оброблену інформацію у вигляді графіків. Так, у медицині використовують електрокардіограф. Цей прилад рисує криві, які характе-

ризують роботу серця. Рис. 7

Осцилограф Електрокардіограф

На рисунку 8 зображено графік деякої функції y = f(x).

Її областю визначення є проміжок [–4; 7], а областю значень — проміжок [–4; 4].

При x= –3, x= 1, x= 5 значення функції дорівнює нулю. означення. значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції.

Так, числа –3, 1, 5 є нулями даної функції.

Зауважимо, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) графік функції f розташований над віссю абсцис, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — під віссю абсцис. Це означає, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) функція набуває додатних значень, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — від’ємних.

означення. проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції.

Наприклад, проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y=x².

Зауваження. Під час пошуку проміжків знакосталості функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Наприклад, проміжок (–2; –1) є проміжком знакосталості функції f (рис. 8), але до відповіді увійде проміжок (–3; 1), який містить проміжок (–2; –1).

Якщо переміщатися по осі абсцис від –4 до –1, то можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. Кажуть, що на проміжку [–4; –1] функція спадає. Із збільшенням x від –1 до 3 графік функції йде вгору, тобто значення функції збільшуються. Кажуть, що на проміжку [–1; 3] функція зростає.

означення. Функцію f називають зростаючою на множиніM⊂D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x₁ і x₂, які належать множині M, таких, що x₁ < x₂, виконується нерівність f (x₁) < f (x₂).

означення. Функцію f називають спадною на множи-

ніM⊂D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x₁ і x₂, які належать множині M, таких, що x₁ < x₂, виконується нерівність f (x₁) > f (x₂).

Часто використовують коротше формулювання.

означення. Функцію f називають зростаючою (спадною) на множиніM, якщо для будь-яких значень аргументу з цієї множини більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Наприклад, функція y = x² – 2x (рис. 9) спадає на множині (–∞; 1] і зростає на множині [1; +∞). Також кажуть, що проміжок

(–∞; 1] є проміжком спадання, а проміжок [1; +∞) є проміжком зростання функції y = x² – 2x.

У задачах на пошук проміжків зростання і спадання функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини.

Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою. Якщо функція спадає на всій області визначення, то її називають Рис. 9 спадною.

Наприклад, на рисунку 10 зображено графік функції y = x. Ця функція є зростаючою. На рисунку 11 зображено графік спадної функції y= –x.

Рис. 10 Рис. 11

Приклад 1 Доведіть, що функція f x( ) = ¹ спадає на кожному x

з проміжків (–∞; 0) і (0; +∞).

Розв’язання. Нехай ^x₁ і ^x₂ — довільні значення аргументу з проміжку (0; +∞), причому x₁ < x₂. Тоді за властивістю числових нерівностей

. Отже, дана функція спадає на проміжку

(0; +∞).

Аналогічно доводять, що функція f спадає на проміжку (–∞; 0).

Зауважимо, що не можна стверджувати, що дана функція спадає на всій області визначення (–∞; 0) È (0; +∞), тобто є спадною. Дійсно, якщо, наприклад, x₁= –2, x₂= 3, то з нерівності x₁ < ^x₂ не випливає, що

.

Приклад 2 Доведіть, що лінійна функція f (x) = kx + b є зростаючою при k > 0 і спадною при k < 0.

Розв’язання. Нехай ^x₁ і ^x₂ — довільні значення аргументу, причому ^x₁ < ^x₂.

Маємо: f (x₁) – f (x₂) = (kx₁ + b) – (kx₂ + b) = kx₁ – kx₂ = k(x₁ – x₂).

Оскільки ^x₁ < ^x₂, то ^x₁ – ^x₂ < 0.

Якщо k > 0, то k(x₁ – x₂) < 0, тобто f (x₁) < f (x₂). Отже, при k > 0 дана функція є зростаючою.

Якщо k < 0, то k(x₁ – x₂) > 0, тобто f (x₁) > f (x₂). Отже, при k < 0 дана функція є спадною.

Нехай у множині M⊂D (f) існує таке число x₀, що для всіх x∈M виконується нерівність f (x₀) lf (x). У такому випадку говорять, що число f (x₀) — найбільше значення функції f на множині M, і записують max f x( ) = f x( ₀ ).