Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания (стр. 1 из 2)
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Кафедра "Высшей математики"
Расчётно-графическая работа по теме:
Математические методы исследования экономики.
(системы массового обслуживания)
Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата
Студент групп ХХХХ Оценка:
Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.
Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).
При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.
| X | Y |
| 10 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 5 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 8 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 4 | 4 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 9 | 6 |
| 5 | 4 |
| 7 | 6 |
| 8 | 5 |
| 5 | 5 |
| 8 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 5 |
| 8 | 6 |
| 6 | 4 |
| 6 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 6 |
Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.
Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:
<М│М│2> (с очередью).
где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);
│М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);
│2> – число приборов в системе;
(с очередью) – дисциплина обслуживания.
λк = λ
 |
μк =
λк = 6,6
 |
μк =
 | | | | ||||
 | |||||||
 | |||||||
 | | | |||||
 | |||||||
Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.
Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками:
 |
Где λk – интенсивность поступления клиентов:
- среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.µk – интенсивность обслуживания клиентов:
- характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.Следовательно:
- интенсивность поступления клиентов в систему. 
- интенсивность обслуживания клиентов.Определим основные характеристики системы:
Определим коэффициент загруженности системы
: 
, следовательно, условие стационарности выполняется, так как 
В условиях существования стационарного режима
S = 3.3
- доля времени простоя  |
(1.29k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2
Pk= (1.29k/ 2*2k-2) * 0.23, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545
- вероятность, что все приборы заняты
Eq= Рз / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,
т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev= Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.
т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51- среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).
Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
P0 ≤ 0,1
Для рассматриваемой системы P0 = 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.
Следующее условие, которое должно выполняться:
,То есть должно выполняться: Eq≤ 0,392, а в нашем случае Eq= 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.
Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.
; 
; 
; 
; µ ( 3,3; 4,02]Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство
µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)
и посмотрим пересечение интервалов значения
, при фиксированном значении 
. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.
р = 6,6/4,02 = 1,64
S = 15.1
P0 = 1/1+S = 0.061 доля временипростоя
(1.64k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2Pk= (1.64k/ 2*2k-2) * 0.061, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз = рm/ (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46
- вероятность, что все приборы заняты
Eq= Рз / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени
т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev= Eq +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени.
т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75
- среднее число клиентов в системе.
Теперь поставленные условия выполняются:
P0 ≤ 0,1 ( Р0 = 0,061)
( Eq=0,32< 2/4,02; Eq= 0,32<0,497Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.
Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.