Особливі точки рівняння (стр. 2 из 3)
Власний вектор (1; 1/2) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу
.Далі, власний вектор
, що відповідає власному числу 
, знаходимо, підставляючи в рівняння 
значення
. Маємо 
Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу
.На площині
будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1; 1/2) і (1; - 1), а потім будуємо гіперболи.2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол).
Прямі, що проходять через особливу точку (0,0), шукаємо у вигляді
. Підставляючи у вихідне рівняння 
,одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта
Таким чином, маємо дві шукані прямі
, 
.3. Напрямок руху по траєкторіях. Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці
вектор швидкості 
. Наприклад, у точках 
та 
вектор швидкості дорівнює 
, 
,у точках
та 
вектор швидкості дорівнює 
, 
,у точках
та 
вектор швидкості дорівнює 
, 
,у точках
та 
вектор швидкості дорівнює 
, 
.Приблизний вид сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 2.
Рис.2. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
3. Задача 2
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання. Для дослідження особливої точки рівняння
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас
, 
, 
, 
. Складаємо характеристичне рівняння 
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні, різні й одного знака.
Отже, особлива точка (0,0) - стійкий вузол (
).1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор
, що відповідає власному числу 
, знаходимо, підставляючи в рівняння значення
. 
Власний вектор (2;
1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу
.Далі, власний вектор
, що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння значення
. 
Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу
.На площині
будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (2;1) і (1; - 1), а потім будуємо параболи й вказуємо напрямок руху по траєкторіях.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Прямі, що містять фазові криві системи, шукаємо у вигляді
.Підставляючи
у вихідне рівняння 
,одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта
: 
Виходить, що
і 
- шукані прямі.Фазові криві - частини парабол, що дотикаються на початку координат прямої
. Параболи дотикаються саме прямої , оскільки власний вектор (2;1) матриці коефіцієнтів даної системи, що відповідає власному числу
, паралельний прямій .3. Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці
вектор швидкості 
. Наприклад, у точці 
вектор швидкості дорівнює 
,