Особливі точки рівняння (стр. 3 из 3)
а в точці
вектор швидкості 
.Приблизний вигляд сім’ї фазових кривих зображений на рисунку 3.
Рис.3. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
4. Задача 3.
Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки системи
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас
, 
, 
, 
. Складаємо характеристичне рівняння 
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння комплексні й різні.
Отже, особлива точка (0,0) - стійкий фокус (
).Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку закручування інтегральних кривих (спіралей) будуємо вектор швидкості
в точці (1,0): 
Отже, спаданню
відповідає рух по спіралях за ходом годинникової стрілки. При русі за ходом годинникової стрілки інтегральні криві наближаються до початку координат (0,0).Приблизний вигляд сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 4.
Рис.4. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
5. Задача 4
Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки системи
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас
, 
, 
, 
. Складаємо характеристичне рівняння 
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки. Отже, особлива точка (0, 0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор
, що відповідає власному числу 
, знаходимо, підставляючи в рівняння 
значення
. Маємо 
Власний вектор (1,1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу
.Власний вектор
, що відповідає власному числу 
, знаходимо, підставляючи в рівняння значення
. Маємо 
Власний вектор (0,
) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу 
.На площині
будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1;1) і (0,
), а потім будуємо гіперболи.2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол). Розділивши друге рівняння вихідної системи на перше рівняння, одержуємо
або 
Прямі, що проходять через особливу точку (0,0) шукаємо у вигляді
(а також 
). Підставляючи в останнє рівняння, одержуємо 
Виходить, що
і - шукані прямі.3. Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці
вектор швидкості 
. Наприклад, у точці 
вектор швидкості дорівнює 
,у точці
вектор швидкості 
,у точці
вектор швидкості 
,у точці
вектор швидкості 
. 
Рис.5. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
Список використаних джерел
1. Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с.
2. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.
3. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.: Государственное издание техникотеоретической литературы, 1947. - 448 с.
4. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.: ил.
5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 176 с.