Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 10 из 15)
Ответ:
.7. Комбинированные методы
При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.
Задачи и решения
Пример 41 Решить уравнение
Решение. Рассмотрим уравнение с параметром
вида 
которое совпадает с уравнением при
. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной 
, т.е. 
Решением уравнения относительно
являются
т.е.
и 
. Поскольку 
, то получаем два уравнения относительно переменной 
вида 
и 
. Отсюда получаем три корня исходного уравнения , т.е. 
и 
.Ответ:
, 
.Пример 42 Решить уравнение
Решение. Обозначим
, тогда 
. Известно, что 
, тогда 
и из уравнения получаем уравнение относительно переменной 
вида 
. Решая последнее уравнение, получаем 
и 
. Таким образом, имеет место 
и 
. Отсюда следует 
и 
.Ответ:
, .Пример 43 Найти все значения параметра 
, при которых разрешимо уравнение
Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством
. Обозначим 
, тогда 
и из получаем 
где
.Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных
и 
, вида 
(данные неравенства легко доказать самостоятельно).
Следовательно,
и из получаем 
, откуда следует 
.Ответ:
.Пример 44 Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение согласно известного равенства
, где 
, тогда 
. Отсюда следует 
Если уравнение сложить с уравнением , то получаем
. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то 
. Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение 
, корнями которого являются 
и 
. Непосредственной подстановкой в убеждаемся, что найденные значения 
являются его корнями.Ответ:
, 
.Пример 45 Решить уравнение
Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения являются
. Умножим обе части уравнения на 
, тогда получаем 
Решением уравнения являются
, 
и 
. Однако 
--- посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении 
левая часть уравнения равна 
, а правая меньше . Так как 
, то 
не может быть корнем уравнения . В этой связи --- единственное решение исходного уравнения .Ответ:
.Пример 46 Решить уравнение
Решение. Обозначим
и 
, тогда из уравнения получаем систему двух уравнений относительно переменных 
, 
вида