Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 9 из 15)

Задачи и решения

Пример 37 Доказать, если

, то

где

.

Доказательство. Пусть

, , ..., , тогда , ,..., . Введем в рассмотрение вектор .

Так как

, то вектор имеет координаты и . Поскольку , то неравенство треугольника принимает вид

Если в неравенство подставить выражения для

и , то получим требуемое неравенство .

Пример 38 Решить неравенство

Решение. Пусть на плоскости вектор

имеет координаты , а вектор --- координаты . Тогда имеем и . Пусть , тогда координаты вектора будут вычисляться по формулам и . Отсюда следует, что . Поскольку , то имеет место неравенство треугольника . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство . Отсюда и из следует равенство

Равенство означает, что

.

Отсюда следует, что векторы

и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение , откуда вытекает .

Ответ:

.

Пример 39 Решить уравнение

Решение. Введем в рассмотрение два вектора

и . Тогда , и .

Принимая во внимание уравнение , получаем равенство

, наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

Из уравнения следует, что

. Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение , которое имеет следующих три корня: и . Поскольку , то решением уравнения являются и .

Ответ:

, .

Пример 40 Найти минимальное значение функции

Решение. Представим функцию

в виде

Введем на плоскости векторы

, с координатами и , соответственно. Так как и , то из выражения следует, что .

Пусть

, тогда координатами вектора являются и .

Так как

, то и . Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции достижима, т.е. существуют такие значения и , при которых функция принимает значение .

Если

, то , т.е. векторы и коллинеарные. Отсюда следует, что и . Положим , тогда . Если найденные значения и подставить в , то . Следовательно, минимальное значение функции равно .