Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 1 из 15)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

Нестандартные методы решения задач по математике

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Давиденко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Метод функциональной подстановки

2. Метод тригонометрической подстановки

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

4. Методы, основанные на монотонности функций

5. Методы решения функциональных уравнений

6. Методы, основанные на применении векторов

7. Комбинированные методы

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

9. Методы решения симметрических систем уравнений

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.

В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.

1. Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной

, применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную

, тогда из получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Отсюда вытекает , и , .

Рассмотрим два уравнения

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем

и . Подстановкой в убеждаемся в том, что найденные значения переменной являются корнями исходного уравнения.

Ответ:

.

Пример 2 Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что

и является корнем уравнения.

Пусть теперь

, тогда обе части уравнения разделим на и получим уравнение

Если обозначить

, то уравнение принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются и .

Рассмотрим уравнения

и , откуда следует, что и . Так как , то наиденные значения являются корнями уравнения.

Ответ:

, , .

Пример 3 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Положим, что

и , тогда из получим уравнение , из которого следует и , . Так как и , то и при этом .

Поскольку

и , то . Отсюда получаем систему уравнений

где

. Решением системы уравнений относительно является . Так как при этом и , то и .

Ответ:

.

Пример 4 Решить уравнение

Решение. Для преобразования левой части уравнения воспользуемся очевидным равенством

. Тогда из уравнения имеем

и

Если затем положить

, то получим уравнение , корни которого равны и .

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения

и , т.е. и , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем .