Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 3 из 4)

Указанный выше вид фундаментальной системы решений дает возможность сделать некоторые заключения об устойчивости нулевого решения однородной системы (2)* .

Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему:

где a_kl — постоянные . вещественные числа, а х₁, x₂, ..., x_n — неизвестные функции от времени t.

Теорема. Если все характеристические числа системы (41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение

x₁ ≡ 0, х₂ ≡ 0, ..., х_п5≡ 0 (42)

асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞ причем начальные возмущения можно брать любыми.

Это утверждение непосредственно следует из вида фундаментальной системы решений и соответствующего ей общего решения системы(41), установленного для общего случая характеристических чисел этой системы ранее.

Теорема о неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами. Если хоть одно из характеристических чисел системы (41) положительно или имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение (42) неустойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞.

Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной. Рассмотрим систему:

Введем вместо х новую независимую переменную t по формуле

t =y(x). (44)

Тогда получим систему:

(k=1, 2, … , n). (45)

Предположим, что коэффициенты этой системы постоянны, т. е.

Тогда p_kl (х) имеют вид

p_kl(x)=a_klψ΄(x), (47)

т. е. р_к1 (х) представляют собой произведения постоянных чисел на одну и ту же функцию от х.

Обратно, если коэффициенты p_kl (x) обладают этим свойством, т. е. если

p_kl(x)=a_klφ(x), (48)

то, положив

t=ψ(x)=∫φ(x)dx, (49)

мы получим систему с постоянными коэффициентами a_kl.

Пример 1. Пусть дана система:

Здесь условие (48) выполнено, причем φ(x)=1/x

Поэтому подстановка

t=∫φ(x)dx=∫1/xdx=ln x (x>0) (51)

или

x = e^t (52)

приводит данную систему к системе с постоянными коэффициентами:

Интегрируя эту систему, получаем:

(54)

Поэтому общим решением системы (50) будет:

(55)

Отсюда видно, что решения системы (50) могут иметь особенность только в точке х=0, которая является единственной особой точкой этой системы. (В точке х=0 не выполнены условия теоремы существования). Наряду с такими решениями существует целое семейство решений y₁=Cx², y₂=Cx², y₃=Cx² голоморфных в окрестности особой точки х = 0. Заметим, однако, что среди них (и вообще) нет решений, в которых функции у₁, y₂ и y₃ стремились бы к пределам, не равным одновременно нулю, когда х стремится к особой точке х = 0.

Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами

Так как соответствующая однородная система всегда интегрируется в элементарных функциях, то, применяя метод вариации произвольных постоянных, мы всегда можем получить общее решение неоднородной системы (56), по крайней мере, в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях.

Замечание. Если в системе (56) функции f_k (x) представляют собою произведения показательной функции (с вещественным или комплексным показателем) на полином от х, то для построения общего решения этой системы можно вместо применения метода вариации произвольных постоянных найти частное решение методом неопределенных коэффициентов и прибавить его к общему решению соответствующей однородной системы. Тогда мы получим общее решение системы (56).

Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению п-го порядка (метод исключения).

Применим к системе

общий способ приведения нормальной системы n уравнении к одному уравнению n-го порядка. Тогда мы получим либо одно линейное уравнение м-го порядка с постоянными коэффициентами, либо несколько таких уравнений более низких порядков, причем сумма порядков всегда равна п. Найдя общее решение каждого из этих уравнений, мы получим общее решение системы (1) уже без дальнейших квадратур.

Пример. Найти общее решение системы:

y΄₁=y₂+y₃,

y΄₂=y₁+y₃, (2)

y΄₃=y₁+y₂.

Дифференцируя первое уравнение и, пользуясь вторым и третьим, получаем:

y˝₁=2y₁+y₂+y₃. (3)

Но y₂ + у₃ = у΄₁. Поэтому

y˝₁− y΄₁−2y₁=0; (4)

Исключим у₃. Из первого уравнения системы (2) имеем:

y₃= y΄₁−y₂. (5)

Подставляя во второе уравнение, получаем

y΄₂= y΄₁−y₂+y₁ (6)

или

y΄₂ +y₂= y΄₁ +y₁ (7)

Таким образом система (2) приводится к двум линейным уравнениям (4) и (7) с неизвестными функциями у₁и у₂второго и первого порядка. Интегрируя уравнение (4), находим:

y₁=C₁e^−x+C₂e^2x (8)

Подставляя это значение у₁в (7), получаем:

y΄₂+y₂=−C₁e^−x+2C₂e^2x+C₁e^−x+C₂e^2x, (9)

или

y΄₂+y₂=3C₂e^2x (10)

откуда

y₂=C₃e^−x+c₂e^2x (11)

Теперь находим у₃:

y₃= y΄₁−y₂=−C₁e^−x+3C₂e^2x−C₃e^−x−C₂e^2x . (12)

Общее решение системы (2) имеет вид:

Метод Даламбера. Знание k (k<n) независимых первых интегралов нормальной системы п-го порядка дает возможность понизить порядок этой системы на k единиц. Если же мы знаем п независимых первых интегралов, то мы имеем общий интеграл.

Для линейной системы с постоянными коэффициентами Даламбер указал общий метод .нахождения первых интегралов.

Рассмотрим этот метод в случае линейной системы двух уравнений:

Умножим второе уравнение на некоторое число k и сложим почленно с первым. Получим:

Или

Выберем k так, чтобы

(17)

Или

a₁₂+ka₂₂=k(a₁₁+ka₂₁). (18)

тогда уравнение (16) можно переписать в виде

Это линейное уравнение первого порядка с искомой функцией y+kz. Интегрируя его, найдем:

y+kz=e^(a11+ka21)x{C+∫[f₁(x)+kf₂(x)]e^{−(a11+ka21)x}dx}. (20)