Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 4 из 4)

если корни уравнения (18)различные и вещественные, то, обозначив их через k₁, k₂, будем иметь два первых интеграла в неявной форме:

Разрешая систему (21) относительно С₁и С₂, найдем общий интеграл системы (14), а разрешая относительно y и z, найдем общее решение этой системы.

Если корни уравнения (18) кратные: k₁=k₂, то формула (20) дает только один первый интеграл:

y+k₁z=e^(a¹¹^+k¹^a²¹^)x{C+∫[f₁(x)+k₁f₂(x)]e^−(a¹¹^+k¹^a²¹^)xdx}. (22)

Подставляя значение г/, найденное отсюда, во второе уравнение системы (14), получим одно линейное уравнение первого порядка с неизвестной функцией z.

Пример 1. Найти общее решение системы:

Составляем уравнение для k:

4+5k=k(5+4k). (24)

Отсюда k_1,2=±1. поэтому первыми интегралами будут:

Решая систему (25) относительно y и z, получим общее решение системы (23).

Пример 2. Найти общее решение системы:

Здесь мы имеем:

4 — 2k = k{2 — k), k² — \k + 4 = 0. (27)

Это уравнение имеет двукратный корень k_1,2 =2. Поэтому метод Даламбера дает возможность найти только один первый интеграл.

Умножая второе из уравнений (26) на 2 и складывая почленно с первым, получаем

Отсюда находим первый интеграл системы (26)

Используя этот первый интеграл, мы можем переписать второе из уравнений (26) в виде

Отсюда

Поэтому

Общее решение системы (26) имеет следующий вид

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. СОДЕРЖАЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫШЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Метод исключения. Используя общий метод сведения любой кано-нической системы к уравнению более высокого порядка, мы, вообще говоря, всегда можем свести линейную систему, содержащую произ-водные выше первого порядка, к одному линейному уравнению более высокого порядка. Найдя решение этого уравнения, мы получим решение заданной системы уже без дальнейших квадратур.

Пример. Проинтегрировать систему :

Эта система приводится к одному уравнению четвертого порядка:

y⁽⁴⁾−k⁴y=0 (2)

Отсюда:

y=C₁e^kx+C₂e⁻^kx+C₃coskx+C₄sinkx (3)

Поэтому: ввв

Метод Даламбера.

Метод Даламбера, изложенный ранее, распространяется и на линейные системы уравнений, содержащие производные выше первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений:

Умножая второе уравнение на k, складывая почленно с первым уравнением и выбирая k из условия:

a₁₂+ka₂₂=k(a₁₁+ka₂₁) (6)

получаем:

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно y+kz. Интегрируя его, найдем:

y+kz=φ(x, C₁, C₂, … , C_n). (8)

если корни уравнения (6) различные относительно y и z, получим общее решение системы (5).

Укажем, в заключение, что линейная система с постоянными коэффициентами так же, как и линейное уравнение с постоянными коэффициентами, может быть проинтегрирована операторным методом.