Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 8 из 12)

Определение. Замкнутая траектория

автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .

Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть

. (7)

Если

, то является устойчивым предельным циклом; если , то — неустойчивый предельный цикл.

Характер приближения соседних траекторий к

при следующий: они приближаются к , образуя бесконечное число витков спирали, как изнутри, так и снаружи.

2.6. Устойчивость по первому приближению.

Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где

. После замены получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде

, (8)

где

при . (9)

Теорема 5. Пусть

— постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (8) асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть

— постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по . Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобы вещественные части собственных чисел матрицы были неположительны.

Рассмотрим теперь автономное уравнение (1):

, (10)

где функция

непрерывно дифференцируема при , причем . Тогда является положением равновесия уравнения (10). После замены уравнение (10) принимает вид , где , функция непрерывно дифференцируема при и

при . (11)

Из (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 7. Если все собственные числа матрицы

имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений

Координаты положений равновесия определяются из уравнений . Положения равновесия:

Соответствующие матрицы

имеют вид

, или .

Собственные числа определяются уравнением

. При k четном , при k нечетном . По теореме 7 при k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.

Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение

периодичны по t с одним и тем же периодом . Тогда в уравнении (8) , . Далее, так как равномерно непрерывна на компакте , то в силу периодичности выполняется равномерно по . Поскольку — периодическая матрица, то существует замена переменных , (12)

где

— периодическая с периодом  функция класса , причем , переводящая уравнение в с постоянной матрицей коэффициентов , определяемой теоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение

, (13)

причем функция

определена и непрерывна в области вида . Условие (9) также выполняется. Действительно, в силу (9), ограниченности и и поскольку эквивалентно . При этом, как отмечалось, имеет место равномерность по t.

Согласно лемме из п. 2.1. вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (8) эквивалентен вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (13). Так как

, где — собственные числа матрицы , а — мультипликаторы линейного уравнения , называемые также мультипликаторами периодического решения , то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема: