Некоторые дополнительные вычислительные методы (стр. 4 из 9)

1. итерационный процесс x_n= φ(x_n-1) сходится к корню уравнения
   ;
2. ;
3. .

Следствие 1. Если требуется найти корень с точностью ε, то кончаем итерационный процесс тогда, когда

<ε, т.е. когда .

Следствие 2. Так как

=φ( ) и =φ(x_n-1), то -x_n= φ( )-φ(x_n-1). По теореме Лагранжа . Из этого следует, что если φ'(x)>0 на (a, b), то последовательные приближения x_n= φ(x_n-1) (n=1, 2, …) сходятся к корню монотонно; если φ'(x)<0 на (a, b), то последовательные приближения колеблются около корня.

Теорема 2. Если

на [a, b], а корень и начальное приближение x₀ находятся на более узком отрезке [α, β], где , то справедливы заключения теоремы 1.

Привести уравнение f(x)=0 к виду x=φ(x) таким образом, чтобы получить сходящийся итерационный процесс, можно различными способами. Рассмотрим два из них:

1) уравнение f(x)=0 равносильно при λ≠0 уравнению λf(x)=0 и уравнению x= λf(x)+x. Обозначим λf(x)+x через φ(x), получим x= φ(x). Параметр λ подберем так, чтобы функция φ'(x)= λf'(x)+1 на [a, b] была по модулю меньше единицы.

2) если

, то итерационный процесс расходится. Заменим уравнение x=φ(x) эквивалентным ему уравнением x=ψ(x), где ψ(x) – функция, обратная функции φ(x). Так как , то итерационный процесс x_n=ψ(x_n-1) будет сходящимся.

Пример. Методом итерации найти корень уравнения 5x-8lnx=8 с точностью 0,01.

Решение. Запишем уравнение в виде

и построим соответствующие графики:

Уравнение имеет два корня:

. За начальные приближения возьмем z₀=0,5 и x₀=3,5. Для уточнения запишем . Здесь

Следовательно, итерационный процесс сходится. Погрешность оценим по формуле , результаты вычислений приведены в таблице:

n	x	1+lnx
0 1 2 3 4	3,53,6053,6513,6723,682	2,2532,2822,2952,301	3,605 3,651 3,672 3,682	------ 0,105 0,046 0,021 0,010

Так как φ’(z₀)≈3>1, то итерационный процесс расходится. Найдем функцию

, обратную функции φ(x). Так как , то итерационный процесс будет сходится. , результаты вычислений приведены в таблице:

n	zn
0 1 2	0,50,5030,503	-0,688 -0,686 ------	0,503 0,504 ------	------ 0,0015 0,0005

3. Интерполирование и экстраполирование

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка. Разумеется, такая постановка задачи допускает сколь угодно много решений. Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерений y_k = f(x_k) некоторой физической величины f(x) в точках x_k, k = 0, 1,…, n и требуется определить ее значение в других точках. Интерполирование используется также при необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f(x) по точным формулам трудоемко. Иногда возникает необходимость приближенной замены (аппроксимации) данной функции (обычно заданной таблицей) другими функциями, которые легче вычислить. При обработке эмпирических (экспериментальных) зависимостей, результаты обычно представлены в табличном или графическом виде. Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе формулы, корректно описывающей экспериментальные данные.

Интерполирование с помощью многочленов

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f(x₀); …, y₁= f(x₁); …, y_{n =} f(x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P(x_i) = y_i. Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

проходящую через заданную систему точек М_i(x_i, y_i) (см. рис. 4). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки x_i (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции.

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а₀, а₁, а₂ ,…, а_n получаем систему линейных уравнений

определитель которой отличен от нуля, если среди точек x_i (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих. Решение системы можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или в форме Ньютона.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть на отрезке [a,b] некоторая функция f(x) задана лишь в некоторых точках

, т.е. известны ее значения , которые, собирают в таблицу:

x	x0	x1	...	xn
f(x)	y0	y1	...	yn

Кроме того, пусть задана некоторая точка

. Построим по таблице следующий многочлен: .

Этот многочлен называется многочленом Лагранжа.

Его основные свойства:

1) это - многочлен степени

;

2)

, т.е. многочлен Лагранжа имеет в точках те же значения, что и функция ;

3) если фиксировать любое число

то окажется выполненным неравенство

где

на участке , т.е. число ограничивает производную го порядка функции .

Сказанное означает, что если функция

задана своей таблицей и требуется найти значение где-то в промежуточной точке c, то можно по таблице построить многочлен Лагранжа и его значение в этой точке принять за значение функции. Отыскание промежуточного значения функции называется интерполяцией; когда это делается с помощью многочлена Лагранжа, то говорят об интерполяционном многочлене Лагранжа или об интерполяции по Лагранжу.