Некоторые дополнительные вычислительные методы (стр. 5 из 9)

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей

x	1	2	3	5
y	1	5	14	81

И найти значение функции при x=4.

Решение. Используя формулу Лагранжа найдем:

После некоторых преобразований получим

Тогда f(4)≈L₃(4)=36,5.

Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя

Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных формул Гаусса

и

, получим формулу Стирлинга

где

.

Легко видеть, что

при .

Кроме формулы Стирлинга, часто употребляется формула Бесселя. Для вывода этой формулы воспользуемся второй интерполяционной формулой Гаусса

.

Возьмем

равностоящих узлов интерполирования с шагом , и пусть — заданные значения функции .

Если выбрать за начальные значения

и , то, используя узлы , будем иметь:

.

Примем теперь за начальные значения

и и используем узлы . Тогда , причем соответственно индексы всех разностей в правой части предыдущей формулы возрастут на единицу. Заменив в правой части этой формулы на и увеличив индексы всех разностей на 1, получим вспомогательную интерполяционную формулу:

.

Взяв среднее арифметическое формул, после несложных преобразований получим интерполяционную формулу Бесселя

где

.

Интерполяционная формула Бесселя, как следует из способа получения ее, представляет собой полином, совпадающий с данной функцией

в точках .

Тригонометрическое интерполирование

Пусть функция f(х) представлена на некотором отрезке [0, 2p]таблицей значений f(х_i) в

равноотстоящих узлах х_i =2p(i-1)/(2N+1), i =1, 2, ...,2N+1. Тогда тригонометрическим интерполирующим многочленом назовем многочлен степени m вида:

.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического полинома, который бы наиболее полно удовлетворял условиям Р_m(х_i)= f(х_i) для любого i=1, 2, ..., 2 N+1.

Можно показать, что решением этой задачи является полином именно того вида, коэффициенты которого вычисляют по следующим формулам:

;

;

.

Интерполяция сплайнами

Пусть отрезок [a, b] разбит на n равных частей [x_i, x_i+1], где x_i=a+ih, i=0, ..., n, x_n=b,

h=(b-a)/n.

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a, b], а на каждом частичном отрезке [x_i, x_i+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a,b] производной - дефектом сплайна.

На практике широкое распространение получили сплайны третьей степени, имеющие на [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Эти сплайны называются кубическими и обозначаются S₃(x).

Пусть на отрезке [a, b] в узлах сетки D заданы значения некоторой функции

f_i =f(x_i), i=0, ..., n.

Интерполяционным кубическим сплайном S₃(x) называется сплайн

S₃(x)=а_i0 +а_i1(x - x_i)+а_i2(x - x_i)² +а_i3(x - x_i)³, xÎ[x_i, x_i+1], удовлетворяющий условиям

S₃(x_i)=f(x_i), i=0, ..., n.

Данный сплайн на каждом из отрезков [x_i, x_i+1], i=0, ..., n-1 определяется четырьмя коэффициентами, и поэтому для его построения на всем промежутке [a, b] необходимо определить 4n коэффициентов. Для их однозначного определения необходимо задать 4n уравнений.

Условие S₃(x_i)=f(x_i), i=0, ..., n дает 2n уравнений, при этом функция S₃(x_i), удовлетворяющая этим условиям, будет непрерывна во всех внутренних узлах.

Условие непрерывности производных сплайна

, r=1,2 во всех внутренних узлах x_i, i=1, ..., n-1 сетки D дает 2(n-1) равенств.

Вместе получается 4N-2 уравнений.

Два дополнительных условия обычно задаются в виде ограничений на значение производных сплайна на концах промежутка [a, b] и называются краевыми условиями.

Наиболее употребительны следующие типы краевых условий:

а) S'₃(а)=f'(а), S'(b)=f'(b);

б) S"₃(а)=f"(а), S"(b)=f"(b);

в)

;

г) S'''₃(x_p+0)=S'''₃(x_p-0), р =1, n-1.

4. Численное дифференцирование и интегрирование

Если функция f(x) заданна аналитически ее первообразная F(x) является элементарной функцией, то

вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: В тех случаях, когда функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не является элементарной функцией или отыскать ее сложно, а также в случае, когда функция f(x) задана графически или таблично, для вычисления применяются приближенные методы.

Постановка задачи численного интегрирования

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой. Обычный прием механической квадратуры состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида, а затем приближенно полагают:

Функция φ(x) должна быть такова, чтобы интеграл вычислялся непосредственно. Если функция f(x) заданна аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности. Пусть для функции y=f(x) известны в n+1 точках x₀, x₁, x₂, …, x_nотрезка [a, b] соответствующие значения f(x_i)=y_i (i=0, 1, 2, …, n). Требуется приближенно найти По заданным значениям y_i построим полином Лагранжа , где