Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей
x | 1 | 2 | 3 | 5 |
y | 1 | 5 | 14 | 81 |
И найти значение функции при x=4.
Решение. Используя формулу Лагранжа найдем:
После некоторых преобразований получим
Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных формул Гаусса
где
Легко видеть, что
Кроме формулы Стирлинга, часто употребляется формула Бесселя. Для вывода этой формулы воспользуемся второй интерполяционной формулой Гаусса
Возьмем
Если выбрать за начальные значения
Примем теперь за начальные значения
Взяв среднее арифметическое формул, после несложных преобразований получим интерполяционную формулу Бесселя
где
Интерполяционная формула Бесселя, как следует из способа получения ее, представляет собой полином, совпадающий с данной функцией
Тригонометрическое интерполирование
Пусть функция f(х) представлена на некотором отрезке [0, 2p]таблицей значений f(хi) в
равноотстоящих узлах хi =2p(i-1)/(2N+1), i =1, 2, ...,2N+1. Тогда тригонометрическим интерполирующим многочленом назовем многочлен степени m вида:
Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического полинома, который бы наиболее полно удовлетворял условиям Рm(хi)= f(хi) для любого i=1, 2, ..., 2 N+1.
Можно показать, что решением этой задачи является полином именно того вида, коэффициенты которого вычисляют по следующим формулам:
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a, b] разбит на n равных частей [xi, xi+1], где xi=a+ih, i=0, ..., n, xn=b,
h=(b-a)/n.
Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a, b], а на каждом частичном отрезке [xi, xi+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.
Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a,b] производной - дефектом сплайна.
На практике широкое распространение получили сплайны третьей степени, имеющие на [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Эти сплайны называются кубическими и обозначаются S3(x).
Пусть на отрезке [a, b] в узлах сетки D заданы значения некоторой функции
fi =f(xi), i=0, ..., n.
Интерполяционным кубическим сплайном S3(x) называется сплайн
S3(x)=аi0 +аi1(x - xi)+аi2(x - xi)2 +аi3(x - xi)3, xÎ[xi, xi+1], удовлетворяющий условиям
S3(xi)=f(xi), i=0, ..., n.
Данный сплайн на каждом из отрезков [xi, xi+1], i=0, ..., n-1 определяется четырьмя коэффициентами, и поэтому для его построения на всем промежутке [a, b] необходимо определить 4n коэффициентов. Для их однозначного определения необходимо задать 4n уравнений.
Условие S3(xi)=f(xi), i=0, ..., n дает 2n уравнений, при этом функция S3(xi), удовлетворяющая этим условиям, будет непрерывна во всех внутренних узлах.
Условие непрерывности производных сплайна
Вместе получается 4N-2 уравнений.
Два дополнительных условия обычно задаются в виде ограничений на значение производных сплайна на концах промежутка [a, b] и называются краевыми условиями.
Наиболее употребительны следующие типы краевых условий:
а) S'3(а)=f'(а), S'(b)=f'(b);
б) S"3(а)=f"(а), S"(b)=f"(b);
в)
г) S'''3(xp+0)=S'''3(xp-0), р =1, n-1.
4. Численное дифференцирование и интегрирование
Если функция f(x) заданна аналитически ее первообразная F(x) является элементарной функцией, то
Постановка задачи численного интегрирования
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой. Обычный прием механической квадратуры состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида, а затем приближенно полагают: