Некоторые дополнительные вычислительные методы (стр. 6 из 9)

П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n), причем L_n(x_i)=y_i (i=0, 1, 2, …, n). Заменяя функцию f(x) полиномом L_n(x), получим равенство

где R_n[f] – ошибка квадратурной формулы. Отсюда получаем приближенную квадратурную формулу

где (i=0, 1, 2, …, n). Для вычисления A_iзаметим, что

1) коэффициенты A_iпри данном расположении узлов не зависят от выбора функции f(x);

2) для полинома степени nполученная формула – точная, так как тогда L_n(x)=f(x); следовательно, формула

- точная при y=x^k (k=0, 1, 2, …, n), т.е. R_n[x^k]=0 при k=0, 1, …, n. Полагая y=x^k (k=0, 1, 2, …, n), получим линейную систему из n+1 уравнений - где (k=0, 1, …, n), из которой можно определить коэффициенты A₀, A₁, …, A_n.

Составные квадратурные формулы

Приведем ряд простейших квадратурных формул, используемых в практике численного интегрирования функции f(x) на некотором интервале [a, b], разбитого на nравных отрезков точками a₀=a, a₁=a+h, a₂=a+2h, …, a_n=a+nh+b, где n=0,1, …, kи

Положим f(x_n)=y_n=f(a+nh).

Формула прямоугольников:

Погрешность формулы определяется выражением

где

Формула трапеций:

Погрешность формулы определяется выражением

где

Формула Симпсона:

где

Погрешность формулы определяется выражением

где

Если длина интервала [a, b] велика для применения простейших квадратурных формул, то поступают следующим образом:

1) интервал [a, b] разбивают точками x_i,

на nинтервалов по некоторому правилу;

2) на каждом частичном интервале [x_i, x_i+1] применяют простейшую квадратурную формулу, находят приближенное значение интеграла

3) из полученных выражений Q_iсоставляют (отсюда и название составная формула) квадратурную формулу для всего интервала [a, b];

4) абсолютную погрешность Rсоставной формулы находят суммированием погрешностей R_iна каждом частичном интервале.

5. Приближенное вычисление обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция от , которую и надо найти. Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнения без начальных условий и уравнения с начальными условиями. Уравнения без начальных условий - это как раз то, что было только что определено. А уравнение с начальными условиями - это записанное выше уравнение относительно функции , но в котором требуется найти лишь такую функцию , которая удовлетворяет при некотором следующим условиям:

, т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения. В этой ситуации число называется порядком уравнения.

Метод Рунге-Кутта

Изложим идею метода на примере:

Интегрируя это уравнение в пределах от x до x + h (0 < h <1), получим равенство

которое посредством последнего интеграла связывает значения решения рассматриваемого уравнения в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние шага h. Для удобства записи данного выражения используем обозначение
∆y=y(x+h)–y(x) и замену переменной интегрирования t=x+ah. Окончательно получим:

Указав эффективный метод приближенного вычисления интеграла в выражении , мы получим при этом одно из правил численного интегрирования уравнения

Постараемся составить линейную комбинацию величин j_i, i = 0, 1, ..., q, которая будет являться аналогом квадратурной суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения Dy:

где

Метод четвертого порядка для q = 3, имеет вид

где

Особо широко известно другое вычислительное правило Рунге-Кутта четвертого порядка точности:

где

Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h⁴ ).

Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно оценить по формуле

В формуле O(x_i) – главный член погрешности,

и - приближенные решения в точке x_i, найденные с шагом h и 2h соответственно.

Экстраполяционные методы Адамса

Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при

, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса. Рассмотрим этот метод.

Пусть найдены значения

в четырех последовательных узлах . При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части . В качестве интерполяционного многочлена можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага конечные разности для правой части в узле имеют вид .