Некоторые дополнительные вычислительные методы (стр. 8 из 9)
Рассмотрим процесс колебания тонкой бесконечной струны под действием непрерывно распределенной внешней силы с плотностью f. Предположим, что сила действует в одной плоскости – плоскости колебания струны (x, u), а струна является гибкой упругой нитью. Пусть величина натяжения, возникающая в струне вследствие ее изгиба, подчиняется закону Гука, а сами колебания достаточно малы. Тогда величина смещения u (x, t) удовлетворяет уравнению колебания струны:
. Для однозначности процесса необходимо задать еще начальное смещение и начальное распределение скоростей. Математически это соответствует заданию начальных условий: 
. Требуется найти классическое решение уравнения, удовлетворяющие начальным условиям. Сформулированная таким образом задача называется задачей Коши для гиперболического уравнения.Исследуем теперь процесс распределения температуры в тонком бесконечном стержне. Предполагается, что тепловой поток подчиняется закону Фурье, а изменение температуры тела пропорционально количеству теплоты, сообщаемой телу. Предположим, что внутри стержня может выделяться и поглощаться теплота, характеризуемая плотностью тепловых источников f. Тогда распределение температуры в стержне описывается уравнением теплопроводности:
. Для однозначного задания процесса необходимо указать начальное распределение температуры. Это соответствует заданию начального условия: 
. Требуется найти классическое решение уравнения, удовлетворяющие начальным условиям. Сформулированная таким образом задача называется задачей Коши для параболического уравнения.- Стационарная задача (задача без начальных данных). Рассмотрим установившийся
режим распределения температуры в ограниченной тонкой пластине произвольной формы с гладкой границей. Пусть функция u(x, y) выражает температуру каждой точки пластины. При обычных законах распространения тепла функция u(x, y) удовлетворяет уравнению Пуассона:
, где функция а задает плотность тепловых источников пластины. В случае отсутствия источника (f=0) данное уравнение называется уравнением Лапласа: 
. Для однозначного описания процесса необходимо задать тепловой режим на границе пластины. Это может быть сделано с помощью задания распределения температуры на границе или распределения теплового потока. Возможен также режим теплового равновесия излучающего тела с окружающей средой.В зависимости от теплового режима на границе получаются три граничных условия для функции u(x, y). Пусть Г – граница рассматриваемой области D – определения уравнения Лапласа. Математическая формулировка граничных условий может быть задана в следующем виде:
граничное условие Iрода:
;граничное условие IIрода:
;граничное условие IIIрода:
.Производная берется по внешней нормали к кривой Г; λ>0 – коэффициент теплопроводности; φ0, φ1, φ2 – заданные на Г функции, причем φ2 есть произведение коэффициента теплопроводности на температуру внешней среды, соприкасающейся с телом.
Таким образом, краевая задача заключается в том, чтобы найти классическое решение уравнения Пуассона или Лапласа, удовлетворяющее одному из граничных условий.
- Смешанная краевая задача. Рассмотрим задачу распространения тепла в тонком
стержне единичной длины. Поместим один из концов в точку x=0, а другой – в точку x=1. Распределение температуры в таком стержне в течение некоторого интервала времени 0<t<Tописывается уравнением
, с начальным условием 
, а для единственности решения в этом случае необходимо еще задать температурный режим на концах стержня. Это можно сделать с помощью граничных условий, аналогичных тем, которые были сформулированы для уравнений Пуассона и Лапласа.Граничное условие Iрода (на конце стержня x=0 заданна температура):
.Граничное условие IIрода (на конце стержня x=0 задан тепловой поток):
.Граничное условие IIIрода:
.Для другого конца стержня x=1 правые части граничных условий заменяются соответственно на ψ0(t), ψ1(t), ψ2(t). Заметим, что начальное и граничное условия должны удовлетворять так называемым условиям сопряжения, т.е. при условии Iрода u0(0)=φ0(0), при условии IIрода u0x(0)=φ1(0), при условии IIIрода -u0x(0)+λu0(0)=φ2(0). Аналогичные условия сопряжения должны выполнятся и на другом конце стержня x=1.
Сформулируем одну из возможных краевых задач. Найти классическое решение уравнения
, удовлетворяющее начальному условию и следующим граничным условиям 
. Эта задача обычно называется первой краевой задачей для уравнения теплопроводности. Соответственно краевые задачи с граничными условиями IIроди или IIIназываются второй и третьей краевой задачей для уравнения теплопроводности.Метод конечных разностей (метод сеток)
Численные методы, основанные на разностной аппроксимации производных называется разностным методом, методом конечных разностей или методом сеток.
Пусть заданно линейное дифференциальное уравнение, записанное в символическом виде:
. Здесь u – искомое решение уравнения; L – некоторый дифференциальный оператор, сокращенно обозначающий соответствующую дифференциальную операцию; f – правая часть уравнения (заданная функция).Для единственного решения данного уравнения к нему необходимо присоединить краевые условия:
.Разностный метод решения этих двух задач можно представить в виде двух этапов:
- построение разностной схемы, аппроксимирующей данную непрерывную задачу;
- получение решения разностной задачи и оценка погрешности этого решения.
Для построения разностной схемы первым шагом является замена области
непрерывного изменения аргументов областью дискретного их изменения – сеточной областью 
, т.е.множеством точек (xn, ym), называемых узлами сетки. Для квадрата 
сеточную область можно построить следующим образом. Проведем прямые 
. Множество точек пересечения этих прямых и составит сеточную область, а сами точки образуют узлы сетки. Всякая функция 
, определенная на ссеке , называется сеточной функцией и обозначается 
.Второй шаг в построении разностной схемы состоит в аппроксимации дифференциального выражения Luнекоторым разностным выражением, а функцию непрерывного аргумента f – сеточной функцией, т.е. в построение некоторого разностного аналога для данного уравнения, при данных краевых условиях.
Такая аппроксимация приводит к системе алгебраических уравнений относительно значений некоторой сеточной функции
. Эту систему можно записать в следующем виде: 
Где Lhи φh – разностные операторы, аппроксимирующие соответственно Lи l; υh – искомая сеточная функция, аппроксимирующая решение u; fh, φh – заданные сеточные функции, аппроксимирующие fи φ.
Совокупность разносных уравнений, аппроксимирующих исходную задачу – есть разностная схема. Рассмотрим их подробнее на примерах уравнения теплопроводности и колебания струны.
Разностные схемы для решения уравнения теплопроводности (параболический тип)
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике
. Требуется найти непрерывное в решение задачи: 
В области
введем прямоугольную равномерную сетку 
{xn, tk} с шагом h=1/Nпо координате xи с шагом τ=T/Mпо координате t: