Некоторые дополнительные вычислительные методы (стр. 9 из 9)
.Производные левой части уравнения
аппроксимируем следующим разностными выражениями: 
В соответствии с данной аппроксимацией построим два разностных аналога уравнения
с неизвестной сеточной функцией υhτ: 
Здесь
- значение некоторой сеточной функции fhτ, соответствующей правой части уравнения . Для первой разностной схемы 
, а для второй - 
.Начальное и граничное условия для первой краевой задачи аппроксимируются точно:
Для второй и третьей краевых задач граничные условия аппроксимируются на основе разностных выражений.
Полагая r=τ/h2 получим
- для первой разностной схемы, 
- - для второй разностной схемы.Анализ показывает, что погрешность аппроксимации схем есть
.Разностные схемы для решения уравнения колебания струны (гиперболический тип)
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебания струны в прямоугольнике
. Требуется найти непрерывное в 
решение задачи: 
Применение метода конечных разностей к решению задачи по существу мало чем отличается от его применения к уравнению теплопроводности. Область
покрывается сеткой 
. Отличие заключается в приближении второй производной по переменной t: 
.Разностная аппроксимация принимает вид
.Начальные условия аппроксимируются следующим образом:
.Граничные условия аппроксимируются точно так же, как и для уравнения теплопроводности:
.Значение
является фиктивным неизвестным, которое можно определить по формуле: 
, где γ=τ/h.Анализ показывает, что погрешность аппроксимации схем есть
.Список литературы
- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Наука, 1970.
- Минкова Р.М., Вайсбурд Р.А. Методы вычислительной математики. УПИ, 1981.
- Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. Высшая школа, 1990.
- Кацман Ю.Я. Прикладная математика. Численные методы. ТПУ, 2000.