Игровые модели и принятие решений (стр. 4 из 4)

Для решения задач линейного программирования используется симплекс-метод. [1, 5].

В результате решения определяются значения целевых функций (для обоих игроков эти значения совпадают), а также значения переменных x_i и y_j .

Величина V* определяется по формуле: V* = 1/z

Значения вероятностей выбора стратегий определяются: для игрока 1: P_i = x_i×V*: для игрока 2: q_i = y_i×V*.

Для определения цены игры V из величины V* необходимо вычесть число K.

Занятие 5

Теоретическая часть

Пример решения матричной игры со смешанным расширением

Рассмотрим пример решения матричной игры со смешанным расширением. Платёжную матрицу игры составим на основе исходных данных задачи, решённой при выполнении занятия 3, заменив лишь значения долей продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношений цен (табл. 2.1).

Таблица 2.1.

Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.		Доля продукции предприятия 1, купленной населением
Предп. 1	Предп. 2
10	10	0,31
10	6	0,33
10	2	0,18
6	10	0,7
6	6	0,3
6	2	0,2
2	10	0,9
2	6	0,85
2	2	0,69

Применив к исходным данным задачи формулу (1) определения разницы прибыли от производства продукции (занятие 3), получим следующую платёжную матрицу (рис. 2.1)

B1	B2	B3	minj
A1	0,17	0,62	0,24	0.17
A2	3	-1,5	-0,8	-1.5
A3	0,75	0,5	0,175	0,175
maxi	3	0.62	0.24

Рис. 2.1. Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий за рынок продукции региона».

В данной матрице (рис. 2.1) нет доминируемых или дублирующих стратегий. Нижняя цена игры равна 0,175, а верхняя цена игры равна 0,24. Нижняя цена игры не равна верхней. Поэтому решения в чистых стратегиях не существует и для каждого из игроков необходимо найти оптимальную смешанную стратегию.

Решение задачи

1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты. Для соблюдения условия неотрицательности в задачах линейного программирования прибавим к каждому коэффициенту матрицы модуль минимального отрицательного коэффициента. В данной задаче к каждому коэффициенту матрицы необходимо прибавить число 1,5 – значение модуля наименьшего отрицательного элемента матрицы. Получим платёжную матрицу, преобразованную для выполнения условия неотрицательности (рис. 2.2)

B1	B2	B3
A1	1,67	2,12	1,74
A2	4,5	0	0,7
A3	2,25	2	1,675

Рис. 2.2. Платёжная матрица, преобразованная для выполнения условия неотрицательности

2. Опишем задачу линейного программирования для каждого игрока в виде системы линейных неравенств:

Для игрока 1:

1,67×x1 + 4,5×x2 + 2,25×x3 ³ 1

2,12×x1 + 0×x2 + 2×x3 ³ 1

1,74×x1 + 0,7×x2 + 1,675×x3 ³ 1

x1³ 0; x2³ 0; x3³ 0

min Z = x1 + x2 + x3

Для игрока 2:

1,67×y1 + 2,12×y2 + 1,74×y3 £ 1

4,5×y1 + 0×y2 + 0,7×y3 £ 1

2,25×y1 + 2×y2 + 1,675×y3 £ 1

y1³ 0; y2³ 0; y3³ 0

max Z = y1 + y2 + y3

3. Решим обе задачи с использованием симплекс-метода, применяя программный комплекс "Линейная оптимизация". [5].

В результате решения задачи получим следующие значения целевой функции и переменных:

Z = 0,5771

V* = 1/0,5771 = 1,7328

x1 = 0,5144; x2 = 0; x3 = 0,0626

y1 = 0,0582; y3 = 0,5189

4. Для определения значений вероятностей выбора стратегий игроков 1 и 2 умножим значения переменных на V*. P₁ = x1×V* = 0,8914, p₂ =0, p₃ = x3×V* = 0,1083: q₁ = y1×V* = 0,1008, q₂ = 0, q₃ = y3×V* = 0,8991.

5. Определим значение цены игры. Для этого из величины V* вычтем 1,5 (значение модуля наименьшего отрицательного элемента).

V = 1,7328 - 1,5 = 0,2328

Таким образом, в данной игре выиграет предприятие 1 (значение V > 0). Для достижения своей оптимальной стратегии (получения максимального математического ожидания гарантированного выигрыша) предприятие 1 должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,8914, а технологию 3 – с вероятностью 0,1083. Предприятие 2, соответственно, должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,1008, а технологию 3 – с вероятностью 0,8991. Значение математического ожидания выигрыша предприятия 1 составит 0,2328 тыс. д.е.

Практическая часть

Задание 5.1

Решить задачу из занятия 3 изменив исходные данные

Таблица 2.2

Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).

Технология	Цена реализации единицы продукции, д.е.	Полная себестоимость единицы продукции, д.е.
		Предприятие 1	Предприятие 2
I	10	5	8
II	8	4-0.1*N	6
III	6	3+0.1*N	4-0.2*N
IV	4	2	2
V	2	1,5-0.1*N	1+0.1*N

где N – порядковый номер Вашей фамилии в списке студентов группы.

Функция спроса на продукцию:

Y = 8 – (0.3+0,1×(N-1)) ×X

Таблица 2.3

Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

Цена реализации 1 ед. продукции, д.е.		Доля продукции предприятия 1, купленной населением
Предп. 1	Предп. 2
10	10	0,31+0.1*(N-1)
10	8	0,33
10	6	0,25
10	4	0,2
10	2	0,18
8	10	0,4
8	8	0,35
8	6	0,32
8	4	0,28
8	2	0,25
6	10	0,52
6	8	0,48
6	6	0,4
6	4	0,35
6	2	0,3-0.02*N
4	10	0,6
4	8	0,58
4	6	0,55+0.05*N
4	4	0,5
4	2	0,4
2	10	0,9
2	8	0,85
2	6	0,7
2	4	0,65
2	2	0,4

Решение задачи необходимо провести с помощью программы, разработанной при выполнении практической части занятий 1, 2 и 4.